Nosztalgia-feladatok

[G.Á]

Ide mindenki hozhat olyan feladatot vagy számolást, ami valamilyen szempontból alapvetően tanulságos volt számára.

Kezdem én: Középiskolás szorgalmi feladat volt, én ezen "tanultam meg" a differenciálszámítást.
Értsd: előtte azt sem tudtam hogy van ilyen művelet.
Ez egyszersmind azt is mutatja hogy embertől függően sokszor hasznosabb az alkalmazásokba beletoccsanni és utólag elvégezni a matematikai alapozást. Legalábbis nálam ez sokszor jobban működött.


Tehát a feladat:
Van egy "" tömegű, "" súrlódási együtthatójú testünk, amely egy síkon nyugszik.
Milyen irányban érdemes erőt kifejteni a testre, vagyis az erővektor milyen (vizszintessel bezárt) szöge esetén leszünk képesek
minimális erővel megmozdítani a testet?

[G.Á]

Ugyan gyerekek, ez nem nehéz.
Ha kell, nyugodtan kérdezzetek.

[Zsolt68]

[G.Á]

[Zsolt68]

[G.Á]

Eltekintve attól hogy te nem a vizszintestől mért szöget adtad meg, hanem a függőlegestől mértet, és hogy a lépéseket nem magyaráztad (bár talán tényleg triviális), meg hogy a differenciálást rosszul jelölöd, végülis jó a megoldásod.

[Zsolt68]

Érdekes.
Lendületből felírtam valami képletet.
Kevés a szabadsági fok. Véletlenül is kijöhet jó eredmény.

Kénytelen vagyok alaposan átgondolni...

A tégla súlya:
Ezzel nyomja a talajt, már amikor nem húzza a kötél.
Legyen a kötélerő
Ennek a függőleges komponense
Ekkor a tégla kevésbé nyomja a talajt.
A súrlódási erő tehát:





Na ezzel meg mit kezdjek?
Ide valami ötlet kell, mert izomból nem tudom megoldani.

A jobb oldal konstans. A bal oldal egy szorzat.
Az erő akkor minimális, ha a másik tényező maximális. Vagy fordítva, ha nincs szerencsénk.
Áttoltam a döglött lovat a szomszéd utcába.

[G.Á]

Ez így rendben is van, megadtad az implicit kifejezést az erő nagyságára (a szög függvényében) akkor, amikor éppen képesek vagyunk legyőzni a súrlódást. Innen már átrendezni és deriválni kell.

[Zsolt68]

Már csak azt kellene ellenőrizni, hogy ez a szélsőérték milyen fajta.
Mert lehet minimum, maximum, vagy inflexiós pont is.
Most nincs ötletem. Ehhez rutin kellene.

Grafikusan ábrázolva -- ennyi csalást megengedünk -- a ... tartományban a szögfüggvények súlyozott összegének maximumusa van.
Tehát a számított szöghöz tartozó erő minimális.

----------

Telepatikus üzenetet kaptam...

"Ezzel még nem vagyunk kész. A konkrét súrlódási tényező ismeretében meg kell vizsgálnunk az értelmezési tartomány (gyk. ) határait is. Mert esetleg ott van a szélsőérték, ami az intervallum határain túlnyúló szögfüggvények differenciálásával ugyebár nem kapható meg."

Esetleg van valami megkülönböztető neve az intervallum határán lévő szélsőértéknek?

----------

Szögfüggvények súlyozott összege:

Rajzoljunk fel egy origóból induló hozzszúságú vektort. Az x-tengellyel bezárt szög legyen .
Az y-tengelyre vetített képe lesz.

Most rajzoljunk fel egy másik vektort, amelynek a hosszúsága és az y-tengellyel bezárt szöge legyen szintén .
Akkor ennek az y-tengelyre vetített képe lesz.

Ezt nevezik fazor ábrának.
Mi lesz a két vektor eredője?

illetve az x-tengellyel bezárt szög


Most forgassuk meg a vektorainkat. Legyen
Nyilván az eredő vektor is forogni fog.


Az eredő vektor az vektorhoz képest sietni fog. Pozitív amplitudókat véve a vektorok hosszának arányától függően

Ezzel beláttuk, hogy kötélre ható erő minimuma a differenciálással kapott szögnél lesz, nem a vizsgált [ ... ] intervallum határán.

[G.Á]

Fogalmam sincs hogy mit és miért akarsz elforgatni.
Mindenesetre ha már ebbe bele akarunk menni, akkor kérlek fejezd ki az erőt, mint a szög explicit függvényét, aztán ezt vizsgáld meg.