Mágnes- szupravezető gyűrű kölcsönhatás

[G.Á]

Tekintsünk egy téglatest alakú ferromágnest, melynek relatív permabilitása µ >> 1, mérete 2a x 2a x a , és egy vékony "d" vastagságú, "a" mélységű réssel rendelkezik, az ábrán látható módon. Teljesül, hogy µd >> a >> d.
Egy kör-hurok alakú, "a" átmérőjű és "L" induktivitású, szupravezető testethelyezünk a résbe. A hurokban "I" áramerősség folyik. Mennyi munkát kell végezni a kihúzásához, és
a ferromágnestől való nagy távolságba való húzáshoz?

- Az induktivitás "L", amikor még távol van a ferromágnestől.
- Az áramerősség akkor "I", amikor a test a résen belül van.
- A hiszterézis elhanyagolható, µ független "B" mágneses indukciótól.

[G.Á]

Mivel senki nem szólt hozzá, adok egy kis segítséget:

Mivel a gyűrűnk szupravezető, Joule-hő nem keletkezik benne, és jó közelítéssel ugyanerre számíthatunk a ferromágnesben is.
Emiatt az egyetlen releváns mennyiségnek a mágneses mező energiája tekinthető.

Tudjuk hogy a gyűrűhöz rendelhető mágneses energia, míg a fluxus .
Itt L' a gyűrű induktivitása a résen belül.

Ismerjük ezenkívül az indukciós törvényt:
ahol a jobboldalon az elektromotoros erő szerepel, amely a szupravezető gyűrű esetén nulla.
Ez az összefüggés igen hasznos, mivel azt mondja hogy a gyűrű fluxusa konstans marad az elmozdítás során.

[G.Á]

Kérdés, hogy mit mondhatunk a fluxusról akkor, amikor a gyűrű a ferromágnes résébe van helyezve.

A fluxusvonalak túlnyomó többségét a ferromágnes alakját követi, akárcsak a transzformátorok esetén.
Ahhoz hogy ezt a sejtésünket megindokoljuk, vizsgáljuk meg a ferromágnes határai körül a mágneses mezőt.

A réstől eltekintve, a falak mentén a mágneses indukciónak közelítően a falakkal párhuzamosoknak kell lenniük.
Ismerjük az elektromágnesességtan-ból, hogy a mágneses térerősség (H) felülettel párhuzamos komponensei azonos értékűek a ferromágnesen belül és kívül.

Ugyanakkor a permeabilitás ebben a feladatban csak egy konstans skalár, ennek megfelelően az indukcióvektor és a térerősségvektor azonos irányú, vagyis a H térerősség azonos a felület két oldalán.
Azonban a fluxus az indukcióvektorok alapján definiált , és .
Mivel a permeabilitás sokkal nagyobb a ferromágnesen belül, mint kívül, a fluxus túlnyomó része gyakorlatilag a mágnesen belül lesz.

Ebből, valamint a mágneses tér divergenciamentességéből következtethetünk arra, hogy a mágnes bármely keresztmetszetében a fluxus közelítően azonosnak vehető, a rés egyik felétől a másik feléig .
Magában a résben a mágneses indukcióvektornak azonosnak kell lennie mint a ferromágnes belsejében, aminek elsősorban geometriai okai vannak:
A szűk résben nem számíthatunk arra, hogy az indukcióvektorok számottevően kinyúljanak a téglatestből.
A felületek közvetlen közelében ráadásul ismert, hogy az indukcióvektorok normális komponensei azonosak a résen belül és a mágnesben.

Ebből eredően a rés keresztmetszetére eső fluxus megegyezik a ferromágneses anyag keresztmetszeteire eső fluxussal.

[G.Á]

Írjuk fel az

anyagi Maxwell egyenletet, ami azt jelenti, hogy a gyűrűn keresztülhaladó áramot meg tudjuk becsülni.

Írjuk fel a mágneses térerősség körintegrálját.
, ahol "l" a körbejárási úthossz. Szerencsére nem szükséges egzakt számolást végezni, elegendő felhasználni hogy nagyságrendileg teljesül.
A feladat szerint viszont , így a nem pontosan ismert tag elhagyható.

Ebből eredően . Mivel ez a levezetés azonosan véghezvihető az összes olyan zárt görbére ami a gyűrű belsején keresztülhalad, megállapíthatjuk hogy a gyűrű belsejében az indukcióvektor azonosan .

A gyűrűn belüli fluxus emiatt .

[G.Á]

A korábbiak értelmében a szupravezető gyűrűben a fluxus időben konstans marad, vagyis kihúzva és messzire eltolva a mágnestől,
, vagyis .

A gyűrű mágneses energiája kifejezhető formában is, így a gyűrűn végzett munka a mágnesből való kihúzás során:

.

Ebben azonban van valami furcsa! Ha az "L" induktivitás nagyon nagy, akkor a munka lehet negatív is.
Vajon ez mennyire realisztikus? Mi szabja meg egy szupravezető körgyűrű induktivitását, és mit jelentene a nagy induktivitás fizikailag?
A megoldásunk gondolatmenete érvényes marad-e ebben az esetben is?