Hidrogén spektruma

[G.Á]

Vizsgáljuk meg egy hidrogénatom kötött állapotaihoz tartozó spektrumvonalainak multiplicitásait.

A hidrogénatom energiaszintjeit a mindenfajta korrekció nélküli, Rydberg-formula alapján adottnak vehetjük.

Van-e olyan vonal, amelyik többféle átmenetből is származhat?

Mekkora lehet a legnagyobb multiplicitás?

Mit mondhatunk általánosságban a multiplicitásokról?

[G.Á]

A feladatot teljes általánosságban nekem sem sikerült megoldani, mindenesetre annyit le fogok írni, amennyire jutottam.

Előszöris, a hidrogén kötött állapotainak energiaszintjei írhatóak alakban, ahol "n" természetes szám.
Az n->m átmenethez tartozó frekvencia arányos lesz emiatt kifejezéssel.

Most engedjük meg nem csak a dipól-átmeneteket, hanem minden egyéb (pl kvadropól) lehetséges átmenetet is, így nem kell foglalkozni az átmenetek megengedett/tiltott voltával.

Kérdés, hogy van-e multiplicitás, vagyis vannak-e megfelelő, páronként nem azonos természetes a,b,c,d számok, úgy hogy:


Ez egy számelméleti jellegű problémának tűnik, azt pedig fizikusok igen ritkán tanulnak.

Ennek megfelelően elkezdhetünk vakon tapogatózni és reménykedni.
Átírva az egyenletet:

Keressünk olyan számokat, hogy:
teljesüljön, majd szorozzuk meg a,b-t "X"-el, c,d-t pedig "Y"-al, úgy hogy az eredeti egyenlet teljesüljön.

Egy konkrét lehetőség a b=7, a =5 , d=5, c=1 -ból való kiindulás.
Ekkor
Ennek egy megoldása az X=1, Y=7 .
Ez alapján az a=5 b=7 c=7 d=35 megoldást ad.

Az is könnyen belátható hogy (5k,7k,7k,35k), vagyis ezek mindegyike azonos konstanssal szorozva szintén megoldás lesz.

Ezzel legalábbis az első részre meg van a feladatnak, vagyis van legalább végtelen kétszeres vonal.