Bolygómagra ható felhajtóerő

[Antares]

A lényeg, hogy akkor tisztázódott . Nagyon tetszett a feladat, nekem nagyon tanulságos volt. Először a Gauss-tétellel próbáltam megoldani, mert az szinte kínálja magát az ilyen felületi-térfogati erős feladatokra, csakhogy abban vektorterek szerepelnek, így kezdtem azt hinni, hogy itt használhatatlan lesz, hiszen a nyomás skalár. De végül rájöttem, hogy skalárra is használható, tehát valószínűleg azzal is el lehetett volna intézni az egészet.

A felhajtóerő: , ami a Gauss-tétel miatt:



Viszont az Euler-egyenlet szerint (egyensúly esetén):

, vagyis:

, ami a kiszorított folyadék súlya.

Ez a levezetés valószínűleg ugyanazt csinálja, mint az a szöveges bizonyítás a testnek és a folyadéknak a cserélgetésével. Csak az a szépséghibája, hogy a Gauss-tételt nem vektormezőre, hanem skalárra alkalmaztam, mintegy "formálisan", kihasználva, hogy a jelenthet "div"-et és "grad"-ot is.

De ha mondjuk az 1. egyenletet megszorzom egy tetszőleges, állandó vektorral, akkor már olyan kifejezést kapok, amire biztosan igaz a Gauss-tétel:



Viszont , mert konstans. Tehát az marad, hogy:



De mivel a egy tetszőleges vektor volt, igaz kell legyen, hogy:



Gondolom, ezzel nem én találtam fel a spanyolviaszt, de mivel eddig így nem ismertem, örültem neki mint majom a farkának.

[G.Á]

Ha már ezt kiszámoltuk, akkor röviden leírom azt is, hogy hogyan lehet a környezet által magra vonatkozó gravitációs vonzásra becslést adni.

Ha az "R" sugarú gömb "D"-vel van eltolva, akkor a magra vonatkozó gravitációs hatása csak az "O" ponttól R+D sugarú térfogatnak van.



Szimmetriaokokból elegendő csak az erő eltolásirányú komponensét kiszámolni.
Ehhez az alábbi integrált kell kiszámolnunk:



Ebben egyedül a sugár szerinti integrálás felső határa nem-triviális, de az ábrából könnyen látható lesz a koszinusztétel révén hogy (jelöljük most a felső határt "L"-el):

amiből "L"-re másodfokú egyenletet kapunk.




A gyökös tag integrálja nulla ( )
Ezzel az integrál elvégezhető:
nagyságú, és a felhajtóerővel ellentétes irányú.

Ha nem tévedek, akkor éppen közömbösíti a hatást, ami azt jelenti, hogy mag számára a szimmetrikus elhelyezkedés általában nem stabil egyensúlyi helyzet.

[G.Á]

[Antares]

[dgy]

Ha hozzájárultok, a feladatot (kissé átfogalmazva) kitűzöm az őszi Ortvay-versenyen.

dgy

[Antares]

[G.Á]

[dgy]

[G.Á]

Felírom a feladat megoldását, úgy ahogyan én csináltam.
Ugyebár a feladat felhajtóerő számolása. Vegyük fel a koordinátázást úgy, hogy az elmozdulás "-z" irányú, ebből eredően a felhajtóerő is ilyen lesz.

Az erőnek az egyetlen releváns, z komponense:


itta "p(r)" az adott koordinátarendszerben a nyomás "O" pont körüli gömbszimmetriáját fejezi ki, amelyik a feladat szerint nem romlik el egy kis elmozdulástól.
Kis elmozdulás esetén viszont logikus, hogy ezt a függvényt lineáris rendig sorba lehet fejteni.


Itt a korábbiak szerint "D" a kis elmozdulása a magnak, és



A gyökös tagot sorbafejtéssel közelítjük. Megjegyzem hogy a határesetben Laurent-sorba lehet fejteni, ebben az esetben végeredményként visszakapjuk a szokásos képletet.

Számunkra azonban most a eset a fontos, ekkor Taylor-sorbafejtés után:





Az integrálást elvégezzük, és látható hogy a páros rendű tagok ki fognak esni, az integrálás után:


Kulcsfontosságú a nyomás megfelelő deriváltjának a felírása. Ezt valóban úgy kell elkezdeni, ahogyan Antares is tette.
Lévén hogy hidrosztatikai nyomásról van szó, a nyomást felírhatjuk mint egy integrált a felszíntől (h=0) adott "h" mélységig.


A g-függvényt elvileg ismerjük, hiszen a tömegközépponttól mérve továbbra is gömbszimmetrikus,

Átkoordinátázás után () kifejezhetjük a nyomás "r"-függését:



Ebből már a deriváltat könnyebb kifejezni,
Ha a mag határa mentén a köpeny(folyadék) sűrűsége , a mag átlagos sűrűsége pedig , akkor a képletből kijön, hogy az helyen
.

Ez alapján tehát a felhajtóerő z komponense

A negatív előjel ne zavarjon össze senkit, ez amiatt van, hogy a koordinátázást úgy vettük fel, hogy a koncentrikus elrendezéstől negatív irányú az elmozdítás.

Ui: Ha minden igaz, akkor a gravitáció a lineáris tagot éppen ellensúlyozza (jelölésbeli különbségekért elnézést), így a bolygómagok a kis kitérésekre vonatkozóan stabilak. Ez igen megnyugtató, bár az árapályerők és köpenyáramlások mindenképpen adnak a magnak kitérést.
Véleményem szerint igen érdekes kérdés például a mag dinamikája, --különös tekintettel a hidrodinamikai instabilitásra-- illetve ennek szeizmikai következményei.