Vezető sakktábla

[G.Á]

Tekintsünk egy kétféle fémből álló kompozit vezetőrendszert, ami az ábrán látható sakktáblaszerű szerkezettel rendelkezik.


Mekkora a rendszer effektív fajlagos vezetőképessége?
(a rendszer kétdimenziós)

[dgy]

Véges vagy végtelen rendszerről van szó?

dgy

[G.Á]

Én nagy (végtelen) rendszer esetére gondoltam első közelítésben, mivel abban az esetben a probléma nem túlságosan bonyolult módon megoldható, de természetesen ha valaki véges rendszerre meg tudja oldani, azt is szívesen veszem.

[dgy]

[Antares]

Hogyan kell értelmezni a fajlagos effektív vezetőképességet?

[dgy]

[G.Á]

Segítségképpen megoldom a feladat első felét.

A fajlagos vezetőképesség meghatározásához induljunk ki a összefüggésből, amelyik lokálisan igaz.
Ha a kifejezésnek a makroszkopikus átlagát képezzük, az már a rendszer egészére vonatkozó "effektív fajlagos vezetőképesség" definíciójául szolgál, ez alapján a célunk tehát a meghatározása, feltéve hogy létezik a makroszkopikus határérték.
Ezt nem bizonyítom, de nagy méretekre vonatkozó határértékben ennek a határértéknek léteznie illik fizikai alapon.

Annyit biztosan tudunk, hogy az effektív vezetőképesség a kétféle anyag fajlagos vezetőképességének függvénye, mégpedig olyan tulajdonságokkal mint:
-Szimmetria a kétféle anyag felcserélésére, F(a,b)=F(b,a)
-Skálafüggetlenség F(ka,kb)=kF(a,b)

Ezeket fizikai megfontolásokból könnyen észre lehet venni, ennyi azonban nem elég a feladat megoldásához.

A gondolatmenetünk lényege az, hogy kifejezzük a potenciálokat a sakktáblán, és azok speciális tulajdonságaiból megkapjuk F(a,b) egy további tulajdonságát, amellyel már megoldható a feladat.

Mivel stacionárius problémát vizsgálunk, , ez pedig arra vezet hogy:


Felhasználva hogy a sakktábla egyes mezőin a vezetőképesség konstans, a skalárpotenciálokra felírható az
összefüggés.

Az ilyen parciális differenciálegyenletek megoldásai a jól ismert harmonikus függvények, konkrét alakjukat a peremfeltételek, ebben az esetben az egyes négyzetek kerületein felvett értékek rögzítik.

A harmonikus függvényekről azt kell tudni, hogy tekinthetőek egy holomorf függvény valós részének.



A holomorf függvényekre viszont teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek.


Ezek révén lehet definiálni az ún. harmonikus konjugáltat.


Ezeket kell kiszámolni, illetve a fizikai jelentését feltárni.
Azt például tudjuk hogy egyenletek teljesülnek, a stacionaritás miatt.
Ha meghatározzuk ezek analógját a harmonikus konjugáltakkal, megkaphatunk egy újabb összefüggést F(a,b)-re.

[G.Á]

Átlapozás során megtaláltam ennek a feladatnak a véges méretű változatára felírt megoldást, a "333+ furfangos feladatok fizikából" feladatgyűjteményben.