Izzószál hőmérsékletingadozása

[G.Á]

Egy hagyományos villanykörtét működtetünk, váltakozó feszültségen.
Becsüljük meg az izzószál hőmérséklet-ingadozásának mértékét.


A kérdés P.L. Kapitza: Fizikai problémák című könyvében szerepel válasz nélkül.




Az izzószál anyagát volfram-nak, az átmérőjét 30 mikrométernek vehetjük.
A szál hossza 0.7 méter, de szabad paraméternek is vehető akár.

[srudolf]

Érdekes feladat.
Ez csak egy próbálkozás.

A 0.7 méteres és 30mikronos wolfram szálnak az ellenállása 5.58 Ohm, szobahőmérsékleten. Nagy, mert hosszú.
Ha felmelegítem 2000 fokra, akkor az ellenállása 10x nagyobb lessz, azaz 55.8 Ohm.
220V/50Hz váltóárammal ez az égő fogyaszt vagy 2.8Ampert. Induktív ellenállással nem számolok.
A 0.7 méteres huzalban az elektronok jobbra és balra haladnak másodpercenként 2x (az egyszerűségért) , ahogy a feszültség irányt vált.
Kiszámolom, hogy mekkora az elektronok sebessége a huzalba:
I= dQ/dt= qnAdx/dt= qnAv, ahol I az áramerősség, n az elektronok száma a térfogategységben, q az elektron tőltése, A a huzal keresztmetszetének a területe, v az elektronok áramlási sebessége a huzalba.
v= 0.3 m/sec.
Az elektronok ki se áramolnak a huzalból a szokványos váltakozó áram esetén, nem hiszem, hogy lenne hőmérsékletingadozás.
Kéne legyen egy hőtehetetlensége is a huzalnak.
Persze ha a frekit nagyon alacsonyra vesszük és valahogy megállapítunk egy felfűtési időt, akkor ki lehetne számolni hőmérsékletingadozással is.
A szál ellenállása liniárisan nő a hőmérsékletnövekedéssel, csak annak a sebességét nem tudom.

A megfigyelésem azonban a következő:
220V/50Hz-nél amikor felkapcsolom a lámpát, akkor azonnal felgyúl és nem látom a fényintenzitás változását sem. Ha leoltom akkor azonnal kialszik.
Mekkora lehet a szál hőtehetetlensége a sebessége?

[persicsb]

[G.Á]

Az elektronok mozgási sebességének kevés köze van ehhez.
Itt két dolog történik elsősorban: a szál melegszik a rá eső villamos-teljesítmény miatt, és hűl, a sugárzás révén.
Plusz a hővezetés is egy járulék lehetne, de nem az az elsődleges ebben az esetben.

[Antares]

Ezzel én is megpróbálkozom.

A volframszálat fűtő teljesítmény:

U a csúcsfeszültség (kb 324 V), R az ellenállás, a körfrekvencia (314 1/s)

A sugárzással leadott teljesítmény:

a Stefan-Boltzmann állandó, A a sugárzó felület nagysága, T a hőmérséklete.

Ez a két teljesítmény változtatja a szál belső energiáját, ami: , ahol c a volfram fajhője, m a tömege.

Tehát az energiamérleg:



Átrendezve:



Ezt így egy elég csúnya egyenlet, főleg hogy az R is függ a T-től. Megpróbáltam megoldani úgy, hogy az R-et állandónak vettem, a -ent pedig lineárisan közelítettem az egyensúlyi hőmérséklet közelében a -vel (ami a kifejtésének első két tagja). De így sem nagyon ment, ezért tovább egyszerűsítettem:

Amellett, hogy az ellenállást állandónak vettem, az egyenlet végén szereplő T-it is kicserélem a konstans átlaghőmérsékletre. Nem tudom, hogy ez mekkora pontatlanságot okoz, ha valaki esetleg pontosabban megoldja, akkor kiderülhet, addig első közelítésnek talán jó lesz ez is.

Szóval az egyszerűsített egyenlet:



Ez azért jó, mert egyből kiintegrálható:



Az integrálás eredménye:



Ebben van egy lineáris tag, egy oszcilláló tag és egy konstans. Az oszcilláló részben szereplő jónak tűnik: a teljesítményfelvétel kétszer gyorsabban oszcillál, mint a hálózat frekvenciája, hiszen az áram a pozitív és negatív időszakokban is fűti a szálat. A lineáris tagnak viszont el kell tűnnie, hiszen a hőmérséklet végül egy állandó érték körül kell oszcilláljon, és ez az állandó érték már nem emelkedhet. A K konstans pedig akkor nem lehet más, mint ez a végső átlaghőmérséklet.

Úgy hogy igazából nem kell mást vizsgálnunk, csak a szinuszos tagot, hogy az milyen értékek közt ingadozik. Ez mondja meg, hogy a hőmérséklet mennyire váltakozik, ez lesz a válasz a kérdésre. Ez a tag nyilván nulla és közt mozog.

Tehát a hiányzó betűket kell még meghatározni.

A volfram fajlagos ellenállása 20 C-on

Ebből a szál ellenállása 20 C-on (293 K-en):

Az izzó átlaghőmérsékletét 2700 K-nek veszem, mert ez a szabványos "indoor" színhőmérséklet. A volfram ellenállásának hőfoktényezőjére 0.0041 1/K értéket találtam. Így a tényleges ellenállás 2700 K-en: . Persze nem tudom, mennyire jogos itt a lineáris képlet, de mást erre vonatkozóan nem találtam.

A volfram fajhője c=135 J/kg K

A volfram sűrűsége , ebből pedig a volframszál tömege:

Mindebből a hőmérsékletingadozás:



Egy érdekes kérdés még a korábbi, időfüggést megadó képletben szereplő lineáris tag együtthatója. Erről azt mondtam, hogy nulla kell legyen, ami azt jelenti, hogy:

vagy egyszerűsítve:



Ezt az összefüggést úgy is megkaptam volna, ha az effektív elektromos teljesítmény és a hőmérsékleti sugárzás teljesítményének az egyenlőségét írtam volna fel. Ezt az összefüggést tehát fel lehetett volna használni az egyensúlyi hőmérséklet meghatározására, amihez ismerni kéne a felületet. Ez viszont bonyolult dolog, mert tudni kéne, hogy a spirálisan felcsavart izzószál mennyit is sugároz kifelé, és mennyit vissza, saját magára. Ez meg függ a spirál geometriájától, menetsűrűségétől, ami nem volt megadva. Ezért használtam inkább egy szabványos 2700 K-es hőmérsékletet, amiből viszont így most már meg lehet állapítani ennek az izzónak az "effektív felületét", vagy lehet definiálni valamiféle "effektív felületi tényezőt."

A fenti képletből az jön ki, hogy ez a hatásos felület , míg ha a feladatban megadott paraméterekből számoljuk ki a szál felületét, akkor az . Vagyis azt kapjuk, hogy ennek a konkrét izzónak az effektív sugárzási felülete kevesebb mint fele a tényleges felületnek. Persze ha feltesszük, hogy 230V-on tényleg 2700 K-es sugárzást bocsát ki.

[G.Á]

Teljesen még nem ellenőriztem le, de a gondolatmeneted alapvetően teljesen jónak tűnik.

A végeredmény is nagyságrendileg stimmel, de arról biztosan elfeledkeztél, hogy a volfram nem igazi feketetest, a sugárzási teljesítményt még egy effektív emisszivittással kellene szorozni.
Ebbe egyszersmind belefoglalható az a jelenség, hogy a kibocsátott hő egy része újra elnyelődik, bár ehhez egy nemtriviális ötletre van szükség .

[Antares]

[G.Á]

[Antares]

[G.Á]

Valóban ugyanaz jött ki, de függ(ene) az az emisszivitástól, csak nem látszik.

Át lehet írni olyan alakúra ahol látszik az is:


Itt igazából csak a kényelem kedvéért lett a t* jelölés bevezetve.

De jó a te megoldásod is, csak az adott elhanyagolásokat kellett jobban megindokolni.
(Bár én sem írtam ki minden lépést)