Időtükrözés aszimmetria klasszikus konzervatív rendszerekben

[Antares]

[Macska Bonifác]

Mert butaság. Azt akartam írni hogy az állapottér kontinuum számosságú, persze ez nem visz előbbre minket.

Az az állítás kell, hogy nem létezik megszámolható bázis (generátorrendszer) benne, azaz olyan rendszer, amelyik véges összeadással és valós számmal való szorzással előállítana mindent.

Például ha az állapotok halmaza R^N, a valós számok (végtelen) sorozatai, azaz hogy minden oszcillátorhoz tartozik egy függőleges kitérés, akkor ebben nincs megszámolható generátorrendszer. Hiszen megszámolható darab sorozathoz létezik olyan sorozat, amelyik mindegyiknél sokkal gyorsabban nő (átlós metszéshez hasonlóan), így véges lineáris kombináció nem állíthatja elő az összes sorozatot.

Tehát az R^1 állapottér szabadsági foka (dimenziószáma) 1, az R^2 téré 2, viszont R^N -ben ugrik: megszámolható sok eleme már nem képes őt generálni.

[takacs.ferenc.bp]

[Antares]

[G.Á]

Én most valóban egyszerű mechanikai rendszerekre gondoltam, bár tény hogy pl: az elektromágneses mezőhöz való csatolás is hasonló T-szimmetriasértő folyamatokhoz vezethet, mint pl: a spontán emisszió.

Igen, minden oszcillátornak általában más a frekvenciája.
A különböző "x"-ek száma a rendszer szabadsági fokainak számával lesz egyenlő.
Úgy, ahogyan én felírtam, valóban megszámlálhatóan végtelen sok ez utóbbi, de kihangsúlyoztam, hogy a számolás analitikus végeredménye kontinuum sok esetre érvényes, amikoris a szumma helyett integrál szerepel.

[Macska Bonifác]

[G.Á]

A szabadsági fokok száma egy dinamikai rendszerre vonatkozóan, azon független paraméterek (bázisok, vagy együtthatók) száma, amellyel a rendszer állapotát/viselkedését egyértelműen leírhatjuk.

Nem tudom hogy pontosan mit is nem értesz, ezért két példát adok:

Egyenes mentén mozgó két azonos, szimmetrikusan csatolt oszcillátorból álló rendszer szabadsági foka 2, hiszen az és függvények, amelyek az oszcillátorok egyensúlyi helyzeteitől mért irányított távolságok, egyértelműen leírják a rendszert.
Számítási okokból jobban szeretjük persze a sajátállapotokat, amelyekből szintén kettő van: mikor ellenkező, illetve mikor azonos irányba mozdulnak ki.

Másik példánk legyen egy húr rezgése, ekkor nyilván kontinuum-sok szám, vagy ami ezzel ebben az esetben ekvivalens, egy f(x,t) függvény írja le a rendszer viselkedését.
Persze használhatjuk itt is a sajátrezgések szerinti felbontást, ami a Fourier-felbontásnak felel meg.

Remélem hogy a kérdésedre válaszoltam.

[dgy]

Egy kérdés G.Á.-hoz. Nem akadékoskodni akarok, csak ha már a kontinuum limeszről és a szabadsági fokokról van szó, nem árt tisztázni ezt sem.

Tekintsünk egy véges hosszúságú húrt, a két végén rögzítve. Egy adott pillanatban a húr kitérését egy y=f(x) függvény írja le, amely a két végpontban nulla értéket vesz fel. Ha a rendszer időbeli fejlődését akarjuk vizsgálni, akkor minden x pontban meg kell adnunk az y kitérés függését az időtől, tehát kontinuum sok időfüggvényre van szükségünk.

Ha viszont a rendszer mozgását a Fourier-analízis segítségével vizsgáljuk, akkor megszámlálhatóan végtelen sok állandó Fourier-együtthatót kell megadnunk, hiszen az egyes sajátrezgések térbeli alakját és időbeli lefutását a diffegyenlet egyértelműen meghatározza.

Akkor ez most kontinuum sok vagy csak megszámlálhatóan végtelen sok szabadsági fokú rendszer?

dgy

[Macska Bonifác]

[dgy]