Síkföldi űrexpedicíó

[Antares]

[G.Á]

Helyes a megoldásod.
Persze ha feleslegesen precízek akarunk lenni, az erő előjelével is eljátszhatnánk ugyanezt, de felesleges.

Az elsőre meglepő dolog, ami a megoldásodból rögtön látszik, hogy csak háromféle végeredmény jöhet ki az aszimptotikus eltérésre (-45°,0°,45°), és az, hogyha minden más paraméter rögzítése mellett csak az függvényt rajzoljuk fel, az nem lesz differenciálható, sőt mégcsak nem is folytonos.
A kis "r" határértékképzés eltérő eredményre vezet attól függően hogy melyik irányból közelítünk, és nem jön ki belőle a helyes 0°eredmény.

Egyébként ha nem az aszimptotikus szögeltérést vizsgálnánk, hanem csak egy nagy T időre vonatkozóan, akkor ez a függvény differenciálható lenne, csak egyre inkább "behegyesedne" ahogyan T tart végtelenhez.
A statisztikus fizikában is találkozik az ember hasonló függvényekkel, ott általában a kölcsönható részecskék N-> okoz hasonló jelleget.

[dgy]

Mi a helyzet ugyanezzel a feladattal, ha nem síkban, hanem térben mozog az expedíció?

dgy

[Antares]

[G.Á]

Ekkor a testtel együttmozgó főtengelyrendszerben felírhatjuk a pörgettyű-egyenleteket, és itt a forgatónyomaték komponensek konstansok lennének.

Ha a forgatónyomatékok mind nullák, akkor a megoldás Jacobi-egyenletek formájában írható fel.
Valahogyan a forgatónyomatékkal együtt is megoldást kell keresnünk (esetlegesen úgy, hogy feltételezzük a test hengerszimmetriáját, ha csak így lehet elvégezni a számolást).

Ha ez megvan, akkor ebből a szögek időfejlődése adott, vissza kell térni az eredeti koordinátarendszerbe, és ott a TKP-ra megoldani a differenciálegyenleteket.
A sebességekhez várhatóan szintén szinusz/koszinusz függvényeket, vagy ezek szorzatait kell integrálni, de a belső függvény feltehetően roppant bonyolult.

Kiinduláshoz: , de persze jó lenne előre tudni hogy a feladat analitikusan megoldható-e, vagy esetleg van ennél egyszerűbb módszer is.

[G.Á]

A szimmetrikus pörgettyű-jellegű űrhajó esetén a számolást biztosan el lehet végezni, ugyanakkor kevésbé lesz szép.
Lehet hogy mégis jobban megérné valamilyen szimmetria-megfontolásból kihozni a lehetséges végeredmények halmazát, de pillanatnyilag még nem látom, hogy ezt hogyan lehetne.

Akárhogyis, a számolás eleje:

Vegyük fel a koordinátarendszerünket úgy, hogy kezdetben a fő tehetetlenségi nyomatékok irányába álljanak a derékszögű KR tengelyei.
A célpont ekkor "n" vektor irányában van, és az erő is azonos irányba mutat.

illetve legyen adott az erőkar vektora:

Nyilván a forgatónyomaték: , és a főtengelyrendszerben, ennek vetületei konstansok, emiatt ezek is ismertek.

A főtengelyrendszerben a pörgettyű-egyenletekre, -t tételezzük fel, ez arra vezet, hogy:




A két utolsó egyenletrendszer megoldása, ha bevezetjük az jelölést, a megoldás felírható:
(Itt "b" és "c" jelöli M 1. és 2. komponensét, és ideiglenesen "x" és "y" jelöli a szögsebesség ugyanezen komponenseit)


( )

Ezután még meg kell határozni az eredeti koordinátarendszerben az erők komponenseinek az időfüggését, ebből a sebességet. A szögeltérés abszolut-értékét pedig nyilván skaláris szorzással lehet kiszámolni, de ehhez még dolgozni kell.

Szerk: ha a szögeltéréseket kiintegráljuk, a 2. és 3. komponensek valószínüleg konvergálni fognak, ezt felhasználva leegyszerűsödhet a számolás.