kozmoforum.hu

Nagy- és kisérleti fizika (mérnök módra)...
Adott egy fizikai rendszer, aminek bizonyos paramétereit mérjük.
(A mérnök feladata egy ilyen vizsgáló berendezés elkészítése. "Szakértő az nem volt." (c) Muppet Show)
Időfüggvényeket mérünk, de a közöttük lévő összefüggést kell ábrázolni: a gyorsulást és a teljesítményt a sebesség függvényében.
Nem tudom eldönteni, hogy a probléma fizikai vagy matematikai jellegű.

A sebességmérés pontossága 0.1% körül van, viszont az ebből számított gyorsulás hibája időnként nagyságrendekkel nagyobb (így nyilván a szorzat hibája is). Ránézésre mindig pozitív irányban vannak a kiugró értékek.
Felmerült az a lehetőség, hogy ablakfüggvényekkel szűrjük meg a mért értékeket. Ez a módszer nem vezetett eredményre. A véletlen (?)mérési(?) hibákat nem szüntette meg, viszont a két vizsgált mennyiség közötti összefüggést jelentősen eltorzította. Szerintem a mérési bizonytalanságot átlagosással csak statikus mérés esetén lehet kiszűrni.
Felmerült egy másik lehetőség is, 10001 mérési pontra illesszünk tízezred fokú polinomot, ami sokkal rosszabb eredményt adott.

Gyorsulást általában nem a sebességből kiszámítva mérünk.
A deriválást (vagy inkább differenciahányados képzést) a legegyenesebben alkalmazva az adathalmazainkra, nagy hibákat kapunk, amit nem biztos hogy az átlagolás kellően feljavít.

Egyszerűen csak közvetlenül kell a gyorsulást mérni egy más típusú szenzorral.
Erre léteznek piezoelektromos, vagy kondenzátoros és más megoldások.

Polinomok illesztése, bár erre nem esküdnék meg, de szerintem a numerikusan stabilan algoritmizálható.

De a polinom-illesztés csak annyira képes, amennyire a neve is utal, és az hogy nagy N-edfokú polinom adott esetben élesen fel/leugrik az utolsó és első adatpontoknál, egyáltalán nem meglepő.

Ellenben polinom-illesztésnek csak akkor van értelme ha előre tudod hogy mit is vársz. Általában persze nem is biztos hogy bármilyen elemi függvény illeszthető.

Szerk: Ez utóbbit nem matematikai értelemben kell érteni. Természetesen illeszthető tetszőleges függvény egy adott adathalmazra, csak általában jóval nagyobb hibával, mint amennyi a mérést jellemzi.

És most egy kis spektroszkópia (színképelemzés).

Legyen három vegytiszta mintánk, és a negyedik ezek ismeretlen keveréke.
Tegyük fel, hogy a vizsgált hullámhossz tartományban a három fémhez egy-egy különböző spektrum vonal tartozik.
Csillagászok számára a hidrogén után már állítólag minden anyag fém.

Vezessük be az alábbi jelöléseket:
: hullámhossz
: az ismert tiszta mintához tartozó színkép vonal intenzitása
: az ismeretlen keverék mintához tartozó színkép vonal intenzitása
: az ismeretlen anyag koncentrációja





Sajnos a spektroszkóp felbontása általában nem elegendő az egyes színkép vonalak feloldásához,
illetve (részben ennek következtében) a különböző anyagok színkép vonalai átfedhetnek.

Legyen az i-edik ismert mintához tartozó j-edik spektrum vonal intenzitása, pedig az ismeretlen mintához tartozó j-edik spektrum vonal intenzitása.
Írjunk fel lineáris egyenletrendszert:

ahol i a minta száma, j pedig a spektrum vonal száma. Összegzés i szerint, vagyis függőlegesen.

Megoldhatnánk az egyenletrendszert, de nekem jobb ötletem van.
Vegyük figyelembe a mérési bizonytalanságokat. Írjuk fel a lineáris regressziót tenzor alakban.

Itt j szerint összegzünk és szerint parciálisan deriválunk.
(A hagyományos regresszió két paraméteres, itt viszont már magasabb dimenziókba tévedtünk.)




Egyszerűsítünk 2-vel




Vezessük be az alábbi rövidítéseket:


ahol az összegzést j szerint végezzük



Ultra voila

Van egy futószalag, ami hosszúságú és sebességgel mozog.
A bemenetén valamilyen időfüggvény szerint adagolnak tömegű anyagot.
Először egyszerűsítve írom...
A kimenetén elvileg távozik tömegű anyag. Persze vannak komplikációk.
Részben az, hogy a keverés miatt valamennyi ellenkező irányú anyagtranszport is lehet. Ennek az időfüggése ismeretlen.
Továbbá ehhez az alapanyaghoz hozzá kellene keverni segédanyagot, ahol egy adott arányossági tényező (konstans). A probléma az, hogy nem ismert. Továbbá az adalékot nem pont az elején adják hozzá. És sajnos mérni csak a futószalagon lévő anyag teljes súlyát tudjuk.
Valahogy az időátlag inverzét kellene képezni...

(Nem lenne gond, ha ez egy tartályban gyűlne, és akkor a mért súly időbeli differenciálját vehetném. De mivel a szalagról ismeretlen mennyiségű anyag távozik is, így nem tudok vele mit kezdeni.)

Nem tettél fel kérdést.
Mindenesetre az esetleges keveredés hatását (egyenlőtlenségek csökkenése) legegyszerűbben talán egy simítófüggvénnyel való konvolúcióval veheted figyelembe.
Mindenesetre a bemenetet gyakorlatilag sem lehet túl nagy probléma mérni, ha az időfüggés nem túlságosan változó.
Ha viszont számítógépesen történik a kezelés akkor elvileg ismertnek kell lennie.