Úton a kezdetek felé

[tuloktulok]

Elkezdtem felszerkeszteni mindenféle vektor vetületét görbe felületeken, de felmerült bennem, hogy már az elején hibáztam.
Kérdésem tehát az, hogy egy görbült felülethez felvett koordináta-rendszer is görbül a felülettel együtt?

[api]

A koordináta-rendszer önkényes, tehát görbe felületet egyaránt le lehet írni egyenes és görbe koordinátákkal is. Mindig igyekszünk olyan koordinátákat választani, amikkel a legegyszerűbb dolgozni az adott feladatban. Így sokszor az euklideszi térben is használunk görbevonalú koordinátákat (például hengerkoordinátákat, polárkoordinátákat), ha a tárgyalt jelenségek hengerszimmetrikusak vagy gömbszimmetrikusak.
(Más, és itt csak zárójelben jegyzem meg, hogy görbe vektorok viszont nincsenek.)

[tuloktulok]

hullam1.JPG (171.17 KiB) Megtekintve 1874 alkalommal.

hullam2.JPG (168.05 KiB) Megtekintve 1874 alkalommal.

hullam3.JPG (49.13 KiB) Megtekintve 1874 alkalommal.

hullam4.JPG (52.22 KiB) Megtekintve 1874 alkalommal.

Megrajzoltam egy pár vektort és levetítettem őket egy görbe felületre. (A felületet egy egyszerű függvény görbéje a tengely körül körbeforgatva. A 2. koordináta-rendszernél az elsőt az síkon 20 -vel eltoltam és random szöggel elforgattam körül. A vetítés iránya mindenhol a tengely volt.)

Ami számomra érthetetlen, hogy itt a vektorok a 10 és 20 hosszú szakaszok, vagy a vetületük?
Feltételezem az első, hisz mint írtad a vektorok mindig egyenesek.
Akkor viszont ennek az átfogó görbe vetületének (zöld) görbeségét nyilván az és az síkra vetett vetületének görbeségével lehet jellemezni (amik nyilván nem esnek egybe a befogók felületi vetületével, csak nem szerkesztettem ki).
Mindegyik a felület egy-egy síkmetszete. Az síkon való vetület pl. hol tartalmazhatja -t?
Viszont egy alapvetően 2 dimenziós dolog jellemzéséhez miért van szükségem a tengelyre?
Hol hibáztam?

[KovPityu]

[tuloktulok]

Azon, hogy egy görbe felület adott pontjához tartozó görbület leírásánál az egyik tengely irányába eső görbület miért függvénye a másik tengelynek?
Az 1. koordináta-rendszer origójában mind az , mind az tengely irányában mérhető görbületet egy cos függvénnyel lehet jellemezni.
Azt belátom, ha egy másik pontban mérem a görbületet, például elindulok az tengely mentén, akkor az adott pontok mindkét összetevője függ attól, hogy éppen hol állok meg.
De ha már kijelöltem egy pontot akkor az ott tapasztalható görbület a képeken látható befogók (tehát egyes tengelyekre eső) felületi vetületének görbesége adja nem?
Viszont, ha ugyanabból a pontból egy tetszőleges vektor (átfogó) felületi vetületének görbületét (zöld) szeretném jellemezni, akkor ezt a görbét kell az adott tengelyekhez tartozó síkokra vetítenem ( és síkok)
és az így nyert görbe jellemzi az eredeti görbe egyes tengelyeken mérhető görbeségét. Az irányba mérhető görbeség leírásához miért van szükségem komponensre?
Ráadásul mindenképpen szükségem van egy tengelyre, ami egy 2 dimenziós struktúránál feleslegesnek tűnik.
Tudom, hogy hibás a gondolatmenetem, csak nem tudom hol.

[api]

[KovPityu]

[api]

Az egy pontban érvényes görbület minden részletét a negyedrendű Riemann tenzor tartalmazza. Ennek elemei (meglehetős bonyolult alakban) előállíthatók a metrikus tenzor elemeinek különféle második parciális deriváltjai segítségével is. Az N dimenziós térben a Riemann tenzor komponenseinek száma , tehát négyestérben 256. Viszont különböző szimmetriái miatt ebből csak 40 független. A belőle előállítható, és az Einstein egyenletben is szereplő másodrendű Ricci tenzor 16 komponense így nem tartalmazhatja a görbületre vonatkozó összes információt (egyébként a szimmetria miatt csak 10 komponense független egymástól). A Gauss görbület pedig még ennél is sokkal kevesebbet, hisz az csak egy komponensű skalár. (Két dimenzióban a Gauss görbület kétszerese épp megegyezik a Ricci tenzor "nyomával", vagyis azzal az R Ricci skalárral, ami szintén szerepel az Einstein egyenletben.)
Később lesz majd némi utalás ezekre is, megpróbáltam azon a határon egyensúlyozni, amin valamennyire felvillantható a dolgok működése, de nem tűnik riasztóan bonyolultnak. Azt persze ne várjátok, hogy egy ilyen egyszerű ismeretterjesztő írás kiterjedhet a részletekre.

[dgy]

[dgy]