Fekete lyuk

[=^.^=]

[G.Á]

Én ugyan most nem olvastam igazán alaposan végig az utóbbi hozzászólásokat, és nem is igazán értek az ált.rel.-hez, de:
1) Az biztos hogy a Minkowski téridő is megoldása az Einstein-egyenleteknek, mégha kissé triviális megoldása is.
2) Nem vagyok benne biztos, de talán ezt érdemes lehet átnézned, mivel legalábbis sematikusan hasonló:
.
Ha jól értem, akkor ez is gömbszimmetrikus anyageloszlást vizsgál, valamilyen kozmológiai konstanssal felruházott téridőben.

[=^.^=]

[dgy]

[dgy]

[dgy]

[dgy]

Belevettem a sztatikus, gömbszimmetrikus téridő tárgyalásába a skalármező energiaimpulzus-tenzorát.

Az első lépésben az jön ki, hogy a , és, komponensek azonosak (ez marad az egyenlőségből), míg a komponens eltér tőlük.

Ennek következtében egyenlőnek kell lennie a és a mennyiségeknek is (a már eleve azonos az utóbbival). Ez egy összefüggést jelent az eredeti metrikus tenzorban szereplő és mennyiségek és deriváltjaik között.

A javasolt stratégia szerint először ezt az összefüggést kellene vizsgálni, és "megoldani" olyan értelemben, hogy az és függvényeket egy (egyelőre tetszőleges) függvény származékaként állítjuk elő, úgy, hogy a egyenlőség azonosságként teljesüljön. Itt tartok, de még nem sikerült megtalálnom a megfelelő kifejezéseket.

Ha ez megvan, az függvényt és származékait visszahelyettesítve a és a képletébe megkapjuk az energiasűrűséget és a nyomást az függvénnyel kifejezve. Ezután különböző függvényeket választva megkereshetjük az energiasűrűség és a nyomás közti kapcsolatot, azaz az állapotegyenletet. A puszta skalármező esetén pedig egy nemlineáris diffegyenletet kaphatunk a skalármező radiális eloszlására. Ha szerencsénk lesz, ez a megoldás kívül a Schw-vákuumhoz konvergál, belül pedig a sztatikus "hamis" vákuumhoz, így megkapjuk a nem éles peremű vákuumbuborékot.

Első lépés tehát a egyenlet megoldása, az és függvények kifejezése egy "generátorfüggvénnyel".

Lássunk neki!
dgy

[dgy]

Kiegészítés és konkrét képletek:

A skalármező Lagrange-sűrűsűge a legegyszerűbb (a részecskefizika Standard Modelljében szereplő) esetben:



ahol az utolsó tag a mező önkölcsönhatási potenciálja, elvileg tetszőleges, alulról korlátos, folytonos és diffható függvény. A gyakorlatban legtöbbször az alábbi alakot használják:



Ez a híres kétfenekű potenciál, aminek és mezőértéknél van nulla értékű alapállapota, míg a helyen, a szimmetrikus állapotban értékű energiasűrűség lép fel, ez játssza az inflációs periódusban a kozmológiai állandó szerepét.

A fenti Lagrange-sűrűséghez tartozó energiaimpulzus-tenzor:



Vegyes komponensekkel:



Ha a gömbszimmetrikus esetben a skalármező csak az sugártól függ, akkor




Itt , a metrikus tenzor megfelelő komponense*.

A Laci által levezetett képletekből és segítségével megkapjuk a kifejezéseket- A fentiek értelmében fenn kell állnia a egyenlőségnek, ez azonban független attól, hogy konkrétan mivel is egyenlők ezek, azaz mi van az Einstein-egyenlet jobb oldalán - így (elvileg) attól függetlenül megoldható.

*Ui: egy előjelhibát utólag javítottam.

dgy

[dgy]

Sokadszor kell szomorúan megállapítani, hogy későn születtünk.
Másképp mondva: minden benne van a Landauban. Mintegy mellékesen, megjegyzésként, apró feladatként.

Laci trükkös számolása, amivel megoldotta az Einstein-egyenlet radiális komponensét tetszőleges függvényre, megtalálható (más jelöléssel) a Landau 2. kötet (Klasszikus térelmélet) 100. fejezetében, a 390. oldalon, a (100.19) képletben.

A másik felvetett kérdés, a függvény kifejezése az energiasűrűség és a nyomás segítségével néhány oldallal odébb olvasható, a 394. oldalon, az 5. feladat (6) képletében.

Viszont ennek a képletnek (ami egy oltári bonyolult számolás meghökkentően egyszerű végeredménye) érdekes termodinamikai interpretációja van, amiről Landau nem beszél. Ma este, ha végeztem a kötelezőkkel, megírom. Ezért ebben az irányban még lehetséges továbblépés.

Ez a képlet akkor érvényes, ha feltesszük a nyomás izotróp voltát. Ez igaz gázokra, viszont nem igaz skalármezőre, de már szilárd testekre sem. Ekkor viszont további új összefüggéseket lehet felírni. Meg kell csinálni.

üdv
dgy

[dgy]