Megfigyelőkről és megfigyeltekről (nem politikai téma!)

[Macska Bonifác]

[dgy]

Nos, miután remélhetőleg megnyugodtak a kedélyek, ideje rendbe tenni "a felgyorsított Föld téridő-görbítése" témát. (Ide, ez elő a cikk elé át lehet pakolni az előzményeket a "Mindenféle laikus kérdés" rovatból.)

1/ Az áltrelben általában nincs értelme arról beszélni, hogy a megfigyelő és a megfigyelt objektum "áll" vagy "mozog" egymáshoz képest. Próbáljunk utánagondolni, milyen elképzelés áll e megfogalmazás mögött.

- A megfigyelt tárgy egy viszonylag kis térbeli kiterjedésű, vagy valamilyen szempontból annak tekinthető objektum, aminek téridő-beli nyoma egy világvonallal, azaz egy mindenütt időszerű érintőjű folytonos görbével reprezentálható.

- Ugyanezt képzeljük a megfigyelőről is. Tehát mondjuk az egyik rakétán ülő Mr Observer figyeli Ms Observed rakétájának útját.

2/ Tudnunk kell, hogy ez az elképzelés nem egyezik meg az áltrelben (és a specrelben is) matematikailag pontosan értelmezhető "megfigyelő" fogalmával. Az utóbbi a közhasználatú fogalmak közül leginkább a "koordináta-rendszer" fogalmával közelíthető. A "megfigyelő" egy időszerű világvonalakból álló hálózat, és a téridő minden pontján áthalad pontosan egy ilyen világvonal. Mindegyik világvonal be van skálázva az idő szerint (ez nem feltétlenül a világvonal mentén mérhető sajátidő), és a szomszéd világvonalak időskálái folytonosan illeszkednek egymáshoz.

Ez a konstrukció lehetővé teszi, hogy a téridő tetszőleges pontjához egy időkoordinátát (az épp e ponton átmenő világvonalon megadott időértéket) és egy megfigyelő-világvonalat rendeljünk. A következő matematikai lépés annak bebizonyítása, hogy ezek a világvonalak egy 3 dimenziós sokaságot alkotnak, ezért 3 koordinátával egyértelműen megjelölhetők, azonosíthatók. Ezt megtehetjük úgy, hogy felveszünk egy térszerű hiperfelületet, amelyet mindegyik világvonal átmetsz (azaz egyik sem érinti a felületet), ezen mindegyik vonal döfési helye egy pont, majd ezt a 3 dimenziós sokaságot valahogy bekoordinátázzuk 3 paraméterrel. Ezt a paraméterhármast rendeljük az adott ponton átmenő egész világvonalhoz.

Így végül a téridő minden pontja egy számnégyessel jellemezhető. Ez az eljárás a "koordinátázás" speciális esete (az általános koordinátázás során ugyanis nem követeljük meg, hogy az egyik koordináta-vonalsereg végig időszerű vonal legyen). Még precízebb matematikusok azt is hozzátehetik: nem biztos, hogy ezzel az eljárással a teljes téridő lefedhető, általában csak annak egy nyílt részhalmaza - a teljes sokaság ilyen nyílt részhalmazok uniója, külön-külön koordináta-"térképezéssel", amelyek együtt egy atlaszt alkotnak.

A "megfigyelő" tehát "nincs sehol", vagy inkább "egyszerre mindenhol van". Fel sem merül a kérdés, hogy "mit lát" a megfigyelő, ugyanis nincs szükség olyasféle fizikai folyamatok elképzelésére, hogy "a megfigyelt objektumtól fény terjed a megfigyelőhöz, az ezt észreveszi stb". Az egész eljárás inkább egy külső, istenszerű szupermegfigyelő szempontjából írja le a világot. Egy eseményhez (világponthoz) egy adott koordinátázásban egyértelműen hozzárendelődik a négy koordinátája, és ez a hozzárendelés nem "fizikai folyamat", hanem matematikai leképezés.

Mindennek precíz, képletekkel alátámasztott megfogalmazása Matolcsi Tamás: Téridő-modellek című könyvében, illetve annak angol nyelvű előzményében (MT: Space-Time without Reference Frames) található meg.

3/ Hát ez a matematikai "megfigyelő"-fogalom eléggé messze van attól, amit az 1/ pontban leírtam, és amit mindenki maga elé képzel, amikor megfigyelőről hall. Mégis, lehetséges olyan eset, amikor a naív megfigyelő-fogalom jól működik, egyáltalán: alkalmazható?

Igen, van ilyen szituáció! Az egyik triviális: az üres, görbületlen Minkowski-tér, egy inerciálisan repülő űrhajóval, amiben a (most már megszemélyesíthető, emberszerű, sőt pontszerű) Mr Observer utazik. Az ő űrhajójának sajátidejével paraméterezzük az űrhajó (egyenes) világvonalát, és az űrhajó négyessebességére merőleges térszerű felületeket tekintjük "most"-felületeknek (izokrón-felületeknek). Ezek a felületek 3 dimenziós euklideszi terek lesznek, amik közül az egyiket (mondjuk a t=0 felületet) a szokásos módon ortogonális koordinátákkal látunk el, amely koordináták origója a megfigyelő űrhajójának döféspontja. Ezután minden ponton át (Minkowski-féle) merőlegest húzunk a t=0 felületre. (Ezek a többi "most"-felületre is merőlegesek lesznek, és párhuzamosak lesznek Mr Observer űrhajójának világvonalával.) Ezzel előttünk áll az előbb a "megfigyelőre" megkövetelt helyzet: a téridő minden pontján átmegy egy időszerű vonal, időadattal beskálázva, e világvonalak pedig három térbeli koordinátával vannak paraméterezve. Görbületlen Minkowski-térben tehát egyetlen inerciálisan mozgó pontszerű objektum "kigőzölög" magából egy az egész téridőt lefedő "megfigyelőt", amit a specrelben szokás szerint "inerciális vonatkoztatási rendszernek" nevezünk.

Ebben a nagyon triviális esetben tehát a "megfigyelő" matematikai definíciója és a naív kép nem mond ellent egymásnak, sőt az utóbbiból kifejleszthető a precíz definíciót kielégítő konstrukció. Mindenki boldog.

Jegyezzük meg, hogy ezt a konstrukciót az tette lehetővé, hogy a Minkowki-téridő affin tér, azaz értelmezhető benne a párhuzamosság fogalma.

Az áltrel felől nézve a dolgot még valamit fel kell tennünk: Mr Observer és űrhajója legyen elhanyagolható tömegű, energiájú, nulla töltésű stb, hogy ő maga ne befolyásolja érzékelhető módon a téridő szerkezetét, ne görbítse azt. Ellenkező esetben nem mondhatnánk azt, hogy a téridő Minkowski-szerkezetű. (Figyelem! Az eredeti, matematikai definícióban ezt nem kellett feltennünk - ott ugyanis szó sem volt arról, hogy a koordinátázó világvonalakat valódi fizikai testek valósítják meg, ezért az ő fizikai tulajdonságaikról sem kellett semmiféle feltevéssel élnünk.)

4/ Van tehát egy olyan megfigyelő-fogalmunk, amely jó közelítéssel összhangba hozza a naív megfigyelő-képet a matematikailag precíz fogalommal. Ez a Mr Observer viszont halálra fogja unni magát: rajta kívül semmi sincs az egész téridőben, nincs mit megfigyelnie...

Szerencsére létezik egy kissé komplikáltabb szituáció is, amikor alkalmazható a naív megfigyelő-fogalom.

Összpontosítsunk most Ms Observedre, a megfigyelt objektumra. Róla nem kell feltételeznünk a pontszerűséget, sem azt, hogy nem görbíti a téridőt. Azt kell csupán feltennünk, hogy egész létezése során csak a tér egy korlátos tartományára terjed ki. Azaz az őt jellemző lokális fizikai mennyiségek (energiasűrűség, töltéssűrűség, nyomás stb) értéke egy tetszőlegesen nagy, de véges térbeli tartományon kívül nulla, azaz megegyezik a vákuumbeli értékkel. Másképp mondva: főhősnőnk alkotórészeinek világvonala körülvehető egy "világcsővel", amin kívül már csak vákuumot találunk, sem részecskék, sem erővonalak "nem lógnak ki a csőből".

Ez a kép megfeleltethető a messziről nézett Földnek - ha eltekintünk egy-két dologtól, pl a légkörből megszökő molekuláktól, a messzire nyúló mágneses csóvától, a kibocsátott infravörös sugárzástól... Hmmm, hmmm... A kibocsátott elektromágneses (pl hő-) sugárzástól ugyanis semmilyen valódi fizikai objektum esetén nem lehet eltekinteni! Különben is, hogyan észlelné Mr Observer Ms Observedet, ha nem látná messziről messzire sugárzó szépségét? Szóval itt valódi fizikai probléma áll fenn! Mégis, képzeljük el egy pillanatra, hogy eltekinthetünk midezen tényezőktől, és a megfigyelt objektum mindenestől bezárható egy világcsőbe! Ilyen értelemben nemcsak a Föld, hanem egy galaxis, vagy akár galaxishalmaz is lehet ez a megfigyelt, a téridő további tartományaitól a fenti értelemben izolált objektum - teljes belső struktúrájával és anyagával, egyebek között a benne fellépő térgörbülettel, lánykori nevén gravitációval és annak energiajárulékaival egyetemben (amennyiben ez az energia egyáltalán értelmezhető - és épp ez az az eset, amikor értelmezhető!).

Már csak azt kell feltennünk, hogy ezen a világcsőbe zárt Ms Observeden kívül nincs más a világban, a külső tartomány üres. Innentől már nem feltevés, hanem az áltrel Einstein-egyenletein alapuló matematikai levezetés annak megmutatása, hogy

a/ a megfigyelt korlátos objektum által görbített téridő tőle kellő távolságra egyre pontosabban megegyezik a görbületlen Minkowski-téridővel;

a*/ Helyezzünk most ebbe a Minkowski-téridőbe egy inerciális mozgást végző rakétát, amely egész útja során nagyon távol marad a megfigyelt objektumot körülvevő világcsőtől. Ezen a rakétán utazik Mr Observer, és a rakéta mozgása a fentebb megbeszélt módon generál egy az egész téridőt lefedő Minkowski-féle inerciarendszert. Pontosabban ez a konstrukció csak kint a végtelenben végezhető el. A koordinátavonalak benyúlnak abba a tartományba is, ahol Ms Observed bőszen görbíti a téridőt. Itt a messziről származó koordináta-rendszer Minkowski-metrikája természetesen nem egyezik meg a téridő valódi metrikájával, azt ugyanis a megfigyelendő objektum meggörbíti. De minél távolabb vagyunk Ms Observed világcsövétől, annál pontosabb az egyezés a bevezetett Minkowski-metrika és a téridő valódi metrikája között.

Ezek után matematikailag megmutatható, hogy

b/ ebben a Minkowki-téridőben az objektumot egy négyesimpulzus-vektor képviseli, azaz egy energia és egy hármasimpulzus-vektor;

c/ a távoli Minkowski-téridő Lorentz-transzformációival szemben ez a négyesimpulzus valóban négyesvektorként transzformálódik;

d/ ha a megfelelő Lorentz-trafóval áttérünk arra a távoli inerciarendszerre, amelyben a rendszer hármasimpulzusa nulla, akkor négyesimpulzus-vektorban egyetlen paraméter, a nyugalmi energia marad, más néven a rendszer teljes tömege, ami megegyezik a négyesimpulzus-vektor Minkowski-metrikában kiszámított abszolút értékével: ;

e/ ha most ebben a "nyugalmi" Minkowski-rendszerben a végtelenből kicsit közelebb merészkedünk a vizsgált rendszerhez, akkor a téridő már nem görbületlen. Metrikája viszont megegyezik az előbbi módon származtatott tömegű gömbszimmetrikus test által keltett Schwarzschild-metrikával.

Távolról (és nyugalomban) tehát minden test gömbölyű, és csak egy adata számít, a tömege.

A fentiek mellesleg meggyőző módon bizonyítják, hogy az áltrelben ebben az általános esetben is fennáll a súlyos és a tehetetlen tömeg azonossága, hiszen ugyanaz az paraméter jelenik meg a "tehetetlenség" képviselőjeként a négyesimpulzus abszolút értékének formájában, és a "gravitáló képesség" képviselőjeként a Schw-téridő tömegparaméterének formájában.

A fenti állítások matematikailag beláthatók, mindez részletesen le van írva a Landau-sorozat 2. kötetében, a 105. fejezetben.

Az itt részletezett eljárással tehát precíz értelmet adtunk annak a naív kijelentésnek, hogy "a Föld által görbített téridőt a Földhöz képest nyugvó megfigyelő vizsgálja".

Már csak azt kell kiokoskodnunk, mit jelent az az ugyancsak naív kijelentésnek, hogy "a megfigyelő a felgyorsított Föld által görbített téridőt tanulmányozza".

(Folytatása következik)

dgy

[Macska Bonifác]

[dgy]

[takacs.ferenc.bp]

[Macska Bonifác]

[takacs.ferenc.bp]

[dgy]

[Macska Bonifác]

[api]

...