Jéghegy meglasszózása

[G.Á]

Unlucky Luke, a híres cowboy a Titanicon utazott, és éles szemének köszönhetően a végzetes ütközés után megpillantott egy olyan jéghegyet, amelynek a vízből kilógó része szabályos kúp alakú.

Mivel mentőcsónak már nem jutott neki, vízbe ugrik, és elúszik a jéghegy széléhez, majd ráveti a lasszóját, mely kecsesen körülöleli a csúcsot.
Ha a kúp elég meredek, Luke fel tud mászni rajta. Ha nem elég meredek, a hurok lecsúszik a hegyről a súlya alatt.

Keressük meg a hegy kritikus meredekségét, vagyis a kúp félnyílásszögét!



A feladat egy régebbi feladat átköltése, annak eredete 1982-ig vezethető vissza, a Novoszibirszki Állami Egyetemen egy kurzus keretében öt perc volt a feladat megoldására.

[Zsolt68]

[G.Á]

Ez így nem a helyes eredményt adja, és az indoklás is helytelen.

Először érdemes abba belegondolni, abba az esetbe, ha a (súlytalan) kötél először nem alkot hurkot, hanem csak egy nyitott szakasza van, a két végén tömegekkel.

Ha a rendszer a két tömeg rögzítése mellett minimális energiájú, az milyen geometriai feltételt ró a kötélre?

Ezután aztán a két tömeget lehet ugyanahhoz a ponthoz közelíteni.

[takacs.ferenc.bp]

A lasszó a huroknál csúszik és ennek is van meghatározott súrlódása a kötéllel, aminek mértéke viszont nincs a feladatban definiálva. Nyilván más a megoldás, ha a kötélgyűrű mérete rögzített, vagy ha a hurok mérete szabadon változva szorító hatást fejt ki. Ez utóbbi esetben vízszintes húzásnál a kúpos jég nem is lehet megoldás. Ha a húzási irányt lejjebb visszük, és közelítjük a kúp palástjához, úgy az emelést előidéző szorítási erőt kiegyensúlyozhatja a hurok lefelé húzása.

[Zsolt68]

[persicsb]

[G.Á]

[Macska Bonifác]

Viszont a feladat 2d változatában 45° a jó megoldás.

A hurkot 2d-re valahogy úgy lehet "általánosítani", hogy egy 2 pontból (később: mancsok) álló rendszer, amely
a) vagy: fix méretű,
b) vagy: csak összehúzódni képes,
és az egyik mancsra rá van kötve egy kötél.

Világos, hogy Luke fel tud mászni a kötélen, ha a hurok alsó (amelyen a kötél van) mancsa már nem tud lefelé mozdulni a geometria miatt.
Ez akkor fordul elő, amikor a fenti mancs a lentinek a merőleges vetülete az őt tartalmazó oldalra, lásd ábra:

unlucky_luke.png (4.36 KiB) Megtekintve 1889 alkalommal.

Kicsit gondolkodva arra jutottam, hogy a) és b) esetben is ilyen állapotba áll be a rendszer ha 45°os vagy meredekebb a jéghegy, akármilyen bénán is lett rádobva a lasszó; és hogy kevésbé meredek jéghegyről mindenképpen lecsúszik. (De nem gondoltam át teljesen.)

--

3 dimenzióban ugyanehhez a megoldáshoz kéne a görbe alakja és ívhossza. (Mondjuk a görbe alakja ellipszis mert mi más lenne, de annak nem ismerjük az ívhosszát, és ez felettébb kellemetlen.)

[G.Á]

Időközben megtudtam, hogy a feladat -más megfogalmazásban, és kissé részletesebben- szerepel a "333+ furfangos feladat fizikából" feladatgyűjteményben.
Ugyanitt kicsit pontosítanom kell: a megoldás jelentősen eltérő attól függően hogy a lasszó pontosan milyen szerkezetű. Itt most feltételezhetjük, hogy a lasszó két kötélből áll, amely közül az egyik egy zárt hurkot alkot.

[Zsolt68]

Köszi az ábrát.

Erre a lehetőségre nem gondoltam.
Pedig nekünk tanítottak olyat, hogy egy csőben alkatrészek haladnak a gyártósoron.
Ha túl nagy a hézag az alkatrész és a cső fala között, akkor kicsit elfordul és beakad a súrlódás miatt.
Ki is kellett számolni a megengedett hézagot a súrlódási tényező függvényében.

(Viszont az ábra alapján rájöttem, hogy a saját megoldásom geometriailag képtelenség. Inkább nem is rajzolom le, annyira abszurd.)