Merre mutat a spin?

[dgy]

(A kvantummechanikához értő ínyencek számára)

Legyen egy tetszőleges, egyre normált, két komponensű komplex vektor (azaz spinor)! Van-e olyan irány a 3 dimenziós térben, hogy ha a spinor által reprezentált feles spinnek az adott irányra eső vetületét mérjük meg (pl. egy Stern--Gerlach-berendezéssel), akkor 100 százalék valószínűséggel "felfelé" mutató spint kapunk?

Mi a helyzet egyes spin, és a neki megfelelő három komponensű komplex vektorok esetén? (Ezt az esetet nem kell részletesen végigszámolni, kvalitatív érvelés is elegendő.)

dgy

[G.Á]

Ha jól értem, akkor a feles spin esetére elegendő abból kiindulni, ami a nemrég belinkelt jegyzetben olvasható.
Ez alapján az a kérdés, hogy tetszőleges felírható-e valamilyen irányú spinmérés sajátállapotaként.

Végső soron ez arra vonatkozik, hogy ekvivalensen átírhatóak-e az állapotok
-ra.

Az első dolog amit érdemes megjegyezni, az hogy a vektorok fáziseltolása nem változtat a fizikailag közvetlenül mérhető mennyiségeken.
-ból átválthatunk .

Ez alapján a hagyományos koordinátarendszerünkben a .
Ezenfelül , ami lehetővé teszi hogy trigonometrikus függvények alakjában írhassuk fel őket.


Ugyanakkor még meg kellene vizsgálni az esetleges multiplicitásokat, és néhány egyéb részletet, amit itt most nem végzek el.

Félreérthetőségek miatt azonban érdemes megjegyezni, hogy az igazság egyenes ellentéte ha azt gondoljuk hogy ezek a spinsajátállapotok akármilyen "irányba mutatnak".
A szög és az impulzusmomentum kanonikusan konjugált mennyiségek, és az impulzusmomentum és spin sajátállapotok pont a legtávolabb állnak attól amit "jól orientált"-nak lehet nevezni.

[Zsolt68]

[dgy]

[G.Á]

Igen, teljesen igazad van, én írtam most hülyeséget.
Pontosabban egy, a spinnel kapcsolatos gyakori félreértést akartam volna tisztázni (pici golyó megy körpályán), de természetesen erről legfeljebb csak a pálya-impluzusmomentumoknál van értelme beszélni.
És persze ez itt amúgyis offtopik.

[dgy]

Mivel senki sem válaszolt, lelövöm a poént.

A feles spin esetét Ákos helyesen elemezte. Nézzük általánosan. Az S spint egy N=2S+1 komponensű komplex vektor adja meg. Vegyük ennek a komponenseinek az abszolút értékét, ez egy N komponensű valós vektor. Mivel a QM-ben a vektorokat 1-re normáljuk, az N db valós szám között fennáll 1 összefüggés - marad (N-1) valós paraméter (általában szögváltozókat használnak). Ha visszatérünk a komplexbe, mindegyik komponens kaphat még egy egységnyi abszolút értékű komplex szorzót, fázisfaktort. De a hullámfüggvények általános fázisinvarianciája miatt csak a komponensek relatív fázisa számít, ezért az egyik komponens önkényesen valósnak választható. A többi (N-1) komponens mindegyikének fázisfaktora egy valós szöget jelent. Így az N komponensű komplex egységvektor 2(N-1) db valós számmal jellemezhető. Az N=2S+1 összefüggés miatt ezt úgy is mondhatjuk, hogy az S spinhez tartozó hullámfüggvény megadásához 4S db valós szám kell. (S egész vagy félegész pozitív szám.)

S=1/2 esetén ez pont 2. E két paraméter egyértelműen kifejezhető a tengely beállását jelző két polárszöggel, vagy vice versa. Ezt a számolást írta le Ákos. Tehát adott (önkényes) kétkomponensű spinor 2 önkényes paraméteréből kifejezhető a tengelyirány két szöge. Ha jól csináljuk a paraméterezést, megkapjuk azt a tengelyirányt, amerre beállítva a mérőműszerünket 100 százalék bizonyossággal +1/2 értéket kapunk a spinvetületre. Így azt mondhatjuk, hogy a feles spin "ebbe az irányba mutat".

S=1 esetén a 3 komponensű komplex egységvektor megadásához már 4 valós paraméter kell. Pl:


Ez a 4 valós paraméter már nem fejezhető ki a mérési irányt megadó két polárszöggel, fordítva meg még inkább, ezért csak kivételes esetekben (a négy paraméter közti speciális összefüggések teljesülése esetén) létezik olyan térbeli irány, amelybe a spinvetületet mérő műszert beállítva biztosan +1 értéket kapunk. Egy általános 3 komponensű komplex spinor esetén ilyen irány nem létezik. Az egyes spin tehát "nem mutat sehová".

Még nagyobb spinekre még rosszabb a helyzet.

Az az érdekes helyzet állt tehát elő, hogy a feles spin (minden furcsasága - pl hogy a spinor 360 fokos elfordulás után nem tér vissza önmagába, henem megszorzódik -1-gyel) ellenére alapszinten sokkal közelebb van a fizikai mennyiségekről alkotott klasszikus elképzeléseinkhez, mint akár az egyes, akár a magasabb spinek. Mert hogy a feles spin "mindig mutat valahová" (bár esetleg mi nem tudjuk, hogy hová). Az eredeti EPR cikk érvelése és szóhasználata szerint ebben az esetben "létezik a valóságnak egy eleme", azaz egy térbeli irány, amelynek segítségével interpretálhatjuk furcsa kvantumos tapasztalatainkat. Magasabb spin esetén ilyen irány, "a valóságnak ez az eleme" nem létezik.

Ez indított egyes fizikusokat arra a hipotézisre, hogy alapszinten igazából csak feles spinű részecskék léteznek, a többit ilyenekből kell összerakni. Az atommagok esetében ez az ötlet jól bevált: észleltek már 73/2 spinű atommagot, de tudjuk, hogy ez a spin a protonok és neutronok feles spinjeiből, valamint egymáshoz képesti pályamozgásuk impulzusmomentumából áll össze. Az 1952-ben Fermi által felfedezett 3/2 spinű Delta+ részecskéről meg később kiderült, hogy tulajdonképpen gerjesztett proton: ugyanabból a 3 db, feles spinű kvarkból áll, mint a proton, csak nem alapállapotban vannak, hanem "keringenek egymás körül". Hasonló a helyzet a többi nagyobb spinű részecskével.

A Standard részecskefizikai modell a feles spinű fermionok mellett az 1 spinű mértékbozonokat (pl a fotont és a gluonokat), valamint a 0 spinű Higgs-részecskét tekinti eleminek. Matematikailag könnyű ezeket "összerakni" két felesből (két felesből a kocsmában is sok minden kihozható...), csak épp olyan tisztességes dinamikai elmélet nincs, ami a tapasztalatatl egyezően megmagyarázná, hogyan is kötődik össze pl két neutrínó egy fotont alkotva... De nincs kizárva, hogy egyszer lesz ilyen elnélet.

Carl von Weizsa:cker, a neves német részecskefizikus (és filozófus) egész metalogikai elméletet kerített e köré a probléma köré. Szerinte a feles spin kétféle beállása az elemi kérdésekre adható kétféle választ képviseli (ma ezt úgy mondanánk: egy bit), ezt jelenítik meg az elemi részecskefizikai objektumok. Ezek kezelésére az SU(2) csoport való. Ennek legkisebb valós reprezentációja az SO(3) csoport, a háromdimenziós fizikai tér forgáscsoportja. Megvan tehát a válasz arra a régi kérdésre, miért háromdimenziós a tér: mert ezen lehet valósan ábrázolni az elemi alternatívákat (biteket)...

Ilyen messzire vezethet az az egyszerű kérdés, hogy "merre mutat a spin?".

dgy

[Ménes Dénes]

Montvay István
Relativisztikus kvantummechanika
Kézirat
1969

[Macska Bonifác]

Hát ez nem egy túl ismert könyv. De legalább a tartalomjegyzéke elérhető; például az -s adatlapján.
Illetve a könyvtárban is van belőle:

Én nézegettem a Gesztit, Feynmant, Landaut, Hraskót (ez utóbbi valamiért nincs a könyvtárban) lassan nem tudom hova odázni, és el kell kezdenem leülni és módszeresen végigvenni
Ez a Montvay milyen?

[G.Á]

Véleményem szerint a kvantummechanikáról írt, talán egyetlen magyarul is olvasható, valóban precíz leírása Neumann János könyve.
Persze pont ugyanezen okból, didaktikailag nem a legszerencsésebb, és igazság szerint én is csak néhány, számomra releváns részét olvastam.
Bevezetés szempontjából szerintem Geszti Tamás tankönyve nagyon jó.

A kvantumtérelméletről, -olyan alapossággal mint a kvantummechanikáról- magyarul nem ismerek egy könyvet sem, de angolul sincs igazán, aminek az az oka, hogy jópár fundamentális kérdés nem tisztázott matematikailag precízen.

[Ménes Dénes]