kozmoforum.hu

Nagyon szép feladatot találtam (néhány éve diákolimpiai feladat volt).

Ismeretlen helyen helyezünk el egy négyzetet, illetve egy ideális, vékony lencsét.
Az ábrán látható négyszög a négyzet valódi képe, amelyet a fent említett lencse képez le.



A négyszög és a lencse optikai tengelye is az ábra síkjában van.
Kérdés, hogy határozzuk meg a lencse helyzetét, vagyis az orientációját, és a lencse középpontjának helyét.
Azt már én teszem hozzá, hogy a feladatot számolás nélkül, geometriai szerkesztéssel -és persze megindoklással- végezzük el.

A négyzetet megnézem egy gyüjtőlencsével, a képoldali gyújtótávolságán kivülről.
A négyzet a lencse tárgyoldali gyújtótávolsága kétszeresénél távolabb kell legyen a lencsétől.
A négyzet képe fodított állású és kicsinyített.

A megoldásod jónak tűnik, csak éppen a lényeg nem látszik, vagyis az a gondolatmenet, ahogyan eljutsz a lencse helyzetéhez.

Numerikusan számoltad, próbálgatással, vagy csak nem akartad elárulni a módszert?

Mindenesetre itt az első segítség:
Az ideális lencse egyenest egyenesbe képez. Ebből eredően az egyenesek metszéspontjai leképezéskor az egyenesek képeinek metszéspontjai lesznek.
A négyzet két szemközti oldala (illetve ezek meghosszabíttásai) formálisan végtelenül messze metszi egymást.

Ezeknek a végtelen távoli metszéspontoknak (t=végtelen) a képei a négyszög szemközti oldalainak (ezek meghosszabbításának) a metszéspontjai.

A lencsetörvény értelmében a végtelen távoli pontok képei éppen a fókuszsíkba esnek.
Vagyis felrajzoljuk a négyszög szemközti oldalainak meghosszabbításait, és a metszéspontjaikat összekötjük.

Ezzel megkaptuk a lencse fókuszsíkját, egyszersmind a lencse irányítottságát is.
Ráadásul azt is tudjuk, hogy a lencse a fókuszsíktól "f" távolságra van, noha ennek értékét nem ismerjük.



A feladat második része a lencse középpontjának (O) a meghatározása.

Többféle megoldás is lehetséges, én itt csak a számomra legszimpatikusabbat írom le.

Ugyebár van két, végtelenül távoli pontunk a tárgyoldalon (a korábbiakban említett metszéspontok).
Ezek képei a fókuszsíkban lesznek.

Hogyan is néznek ki ezek a végtelen távoli pontok a lencse O középpontjából nézve? 90 foknyi különbség lenne a helyzetük között.
Az is igaz hogy a lencse középpontján keresztülhaladó trajektóriák nem változnak meg, tehát a trajektóriák egyenesek lesznek, 90 fokot zárnak be, és a fókuszsík két pontján, E-n és F-en keresztülhaladnak.

Hol lehet akkor az O-pont? Az O lehetséges helye azoknak a pontoknak a halmazába kell hogy essen, amelyek felől nézve az E és F 90 fok alatt látszik.
A Thálész-tételből eredően ez egy kört határoz meg, de ez sajnos még nem elegendő a helyzet egyértelműsítéséhez.

Szükséges volna felvenni még egy másik végtelen távoli pontot is, de vajon hogyan?

Mivel elég régóta nem szólt hozzá senki, felírom a(z egyik) megoldást.

Az előző hozzászólásban már megemlítettem hogy három kitüntetett pont felvétele szükséges, a harmadik pont a formálisan a négyzet valamelyik átlójának a tárgyoldali végtelenben lévő pontja lehet.

Ennek a pontnak a képe, --mint minden végtelen távoli tárgypont képe-- a fókuszsíkban lesz.
Ezenfelül, ahogyan korábban említettem, az ideális, vékony lencse egyenest egyenesbe képez, így négyzet átlójának képe a négyszög megfelelő átlója lesz.



Szintén az előzőek alapján, a lencse "O" középpontját keressük, és az azon keresztülhaladó trajektóriák nem térülnek el, ténylegesen egyenesek lesznek.
Mit látnánk az "O" pontból nézve?
Hát azt, hogy a harmadik pontunk éppen 45 fokot zár be a másik két pontok bármelyikével. Ez azonnal látható, hiszen a négyzet átlója és oldalai is 45 fokos szöget zárnak be, és ezek meghosszabításain a végtelenül távoli pontok is triviálisan ugyanekkora szög alatt látszódnak, függetlenül "O" helyétől.

Viszont ugyanekkora szögeket fognak bezárni a képoldalon is, és a korábbiak értelmében a fókuszsíkon is három pont jelenik meg amelyeket a fényutaknak metszeniük kell.
Tehát az "O" helyére vonatkozóan egyszer szóba jöhet azon pontok halmaza, ahonnan a képen most és -al jelölt pontok látszanak 45 fok alatt, másrészt azon pontok halmaza, amelyek felől az és zár be 45 fokot.

Természetesen mindkettőnek teljesülnie kell, ezért ezek metszéspontjait keressük, ebből kettő van, de csak az egyik lesz fizikailag megfelelő, ezt jelöli az ábrán az "O".

Geometriai tételek biztosítják hogy egy adott szakasz szögűnek, a szakaszhoz illesztett két körív pontjairól látszik, ha ezeket úgy választjuk meg, hogy a körívek középpontjától nézve a szakasz szög alatti.


Ez a feladat ennyi volt, bár még lehet hasonlókat hozni ebbe a topikba.
Nekem tetszik, mert elegendő hozzá csak gondolkodni és rajzolni, bár magától általában nehezen jön rá az ember valamilyen megfejtésre.

Alternatív, kicsit egyszerűbb megoldás, az utolsó lépés helyett:

A két átló az oldalakhoz hasonlóan két egymásra merőleges párhuzamos sugársor része. Ezért ha a képnégyszög átlóit meghosszabbítjuk a fókuszsíkig, és ezekre szerkesztünk Thalész-kört, ennek és az előző, az oldalakhoz tartozó Thalész-körnek a metszéspontja megadja a lencse középpontját.

Teljesen hasonló, idei versenyfeladatot is találtam.
Az elrendezés ugyanaz, célunk az ideális vékony lencse helyzetének megtalálása, ezúttal azonban a tárgy egy kör, a kép pedig egy ellipszis.


A képen látható pont a kör középpontjának képe.