A feladat, hogy találjunk olyan mindenhol értelmezett és folytonos valós függvényt, amely a valós számokból a valós számokba képez és azaz
Először próbálkoztam deriválgatásokkal, de az nem vezet semmilyen hasznos alakra:
.
.
.
Ezzel amúgy sem mennénk semmire, mert azzal, hogy a jobb és baloldali deriváltak is egyenlőek kell legyenek, még nem kapjuk meg a keresett függvényt.
Mivel a kiindulásnál jobboldalt ott van a , ezért csak egyszerűen az alábbi szorzatos alakban keresni a megoldást szintén nem célravezető, mert:
( itt függvénykompozíciót jelent, nem hatványozást)
jön ki, ami már a komplex számokhoz vezet. (Ez így természetesen jó megoldás lenne, ha a feladat feltétele nem tiltaná meg a komplex számtartományt -re. Ez esetben általánosan lenne a megoldás, ahol )
Próbáljuk máshogy:Induljunk ki a értékekből.
El kell varázsolni az előjelet, de úgy, hogy az a végén majd mégis ott legyen, csak ugye fordítva:
Trükköt kell alkalmazni.
Mondjuk így:
(nem csak 10 hatványaival lehet ezt feírni, de most használjuk a 10-es számrendszert)
a számjegyeket jelenti egyesével a teljes valós számra vonatkozó előjellel együtt (k végigfut az összes valós egész számon, nulla értéke jelenti az egyeseket, 1 a tízeseket, 2 a százasokat, 3 az ezreseket... , a negatívok a tizedes jegyeket). (Érdemes elgondolkozni azon, vajon mi lenne, ha mindegyiknek külön előjelet engednénk meg.)
Ezzel azt a nagyon fontos lépést nyertük, hogy már csak egész számokkal kell foglalkozni, mert mivel lineáris:
Mivel következik, hogy (másképp jelölve) értéktartó és periodikus a végtelenségig, ezért az általánosabb is fennáll, ahol mert a negatív függvénykompozíciós kitevőket is megengedhetjük, ugyanis azok az inverz függvénykompozíciók.
Egészen általánosan most ahol és ez -enként lineáris.
(Még egyszer jelzem, hogy itt a függvénykitevő nem hagyományos értelemben vett hatványozást jelent hanem függvénykompozíciót, azaz )
De vajon az lineáris-e?
Hát, ez már nem feltétlen kell, hogy az legyen.
Ami biztos, hogy az teljes leképezés oda-vissza egyértelmű azaz egyértékű, tehát bijektív leképezés. Ez csak úgy lehetséges, ha a köztes lépés is ilyen tulajdonságú leképezés, mivel a teljes értelmezési tartományra képezünk le, és két azonos lépésben.
Tehát nem kell, hogy lineáris legyen, mert a fentiek alapján az értékek is felbonthatók pontosan úgy, mint az értékek:
és nyilván
is igaz.
Térjünk vissza -el az értékekhez, és folytassuk a gondolatmenetet megalkotásához.
Így nem veszítjük el az eredmény folytonosságát, de mégis elég már csak az diszkrét sorozattal tovább dolgoznunk. Az értékkészlete diszkrét kell, hogy legyen. Mindkettő ( és ) mínusz végtelentől plusz végtelenig vehet fel értékeket. Előbbire a számjegyek száma/sorszáma szab határt, utóbbira a számábrázolás szimbólumainak száma, melyre jelen esetben tehetnénk -9 -től +9 -ig tartó szűkítést, de ez felesleges, és csak korlátozná az általánosságot. Lentebb majd észrevehetjük, hogy ekkor az már -10 -től +10 -ig tartó értékkészletet követelne. Ezt úgy képzelhetjük el, hogy pl. 1975 helyett 18(17)5 -öt írnánk. Ez ugyan az a szám, csak a százasok jegyéből egy egységet áthelyeztünk a tízesekbe. Még elfajultabban is leírhatjuk az 1975 -öt, pl. így: 8(117)5 vagy 17(27)5 vagy 00(18)7(105).000 vagy 0000(18)6(105).0(1000)00 és így tovább. Ez matematikailag nem ront el semmit.
A fenti sikertelen tapasztalatokat figyelembe véve, tovább haladva inkább a következő meggondolásokat alkalmazzuk:
(páros függvény) * (páratlan függvény) = (páratlan függvény)
Először is, akkor kell nekünk egy olyan páratlan függvény, amelyet ha egy páratlan függvényre alkalmazunk, páratlan függvényt kapunk, és tartja a linearitást.
A legegyszerűbb ilyen páratlan függvény az és persze is az, valamint lineárisak, ezért ez jó lesz kiindulásnak a második tényezőre. ( jelentése temporary, azaz még nem a kész függvény.)
Tehát, ha az előbbi elgondolást alkalmazzuk önmagára, akkor a második tényező nem veszíti el páratlan tulajdonságát. A linearitását azonban lehet, hogy elveszti, de ügyelünk majd arra, hogy valahogy a "részeiben" mégis tartsa.
Ezután kell még egy olyan páros függvény is (ez lesz az első tényező), amelyet ha egy páratlanra alkalmazunk, párosat kapunk:
(páros függvény(páratlan függvény)) = (páros függvény)
Az ilyen legegyszerűbb függvény a és mivel ez diszkrét, valamint csak előjelet vált, és "részben" nem rontja el a linearitást, ezért pont jó is lesz alakban.
Ezekkel már fel tudjuk írni ezt a sémát:
{páros függvény[(páros függvény) * (páratlan függvény)]} * {páratlan függvény[(páros függvény) * (páratlan függvény)]} = (páratlan függvény)
Azért követjük ezt a gondolatmenetet, mert a feladat követelése páratlan függvény, és lineáris.
azonban nem, de "szabályos részeiben" így lineáris lesz, amit majd egy trükkel valahogy teljessé varázsolunk.
Szorozzuk akkor össze a két kiindulásunkat, így ezzel felbontjuk a számokat (most már csak az egész számokkal kell törődnünk ugye) páros és páratlan számokra, úgy hogy azokat felváltva előjelezzük. Akkor az így kapott eredmény a fentieknek megfelelően hozzárendelésben páratlan függvény lesz:
Ez így néz most ki:
az -hoz rendelve:
(észrevehető, hogy a páros és páratlan részében külön-külön lineáris)
pedig így:
az -hoz rendelve:
Ha az előjel (szignum: ) függvényhez ezt hozzáadjuk, akkor nem romlik el a függvényünk páratlansága, mert a szignum függvény is az, és nullánál is értelmezve van, ahol nulla értékű, ami fontos:
(ez már a megfelelő végeredményt fogja adni, ezért elhagytam a temporary jelölést)
Ezzel a következőket kapjuk:
az -hoz rendelve:
(észrevehető, hogy külön a pozitív, és külön a negatív értelmezési tartományon, a páros és páratlan részében külön-külön lineáris)
(itt már látni lehet, hogy jó lesz ez az út
)
És akkor most alkalmazzuk önmagára, amit kitaláltunk:
Az -hoz ami:
első lépésben ez ( ) rendelődött:
második lépésben pedig ezt ( ) kapjuk:
(észrevehető, hogy a linearitás végül egyöntetűen helyreállt)
Ezzel megkaptuk két egymás után alkalmazott valósból valósba történő azonos leképezéssel az egy előjelváltást, és láthatóan a linearitás is teljesen helyreállt.
A teljes képlet így 10-es számrendszerben:
és
ami a fentiek alapján és mindenhol (a nullában is) folytonos, az irracionális számokat is tartalmazza.
(... nagyjából kész, de még bele fogok itt-ott szerkeszteni
...)
Elküldve: 2015.01.27. 06:19