Elsikkasztott bolygó

[dgy]

Egy gömb alakú kőzetbolygót sűrű, vastag (a bolygó átmérőjét többszörösen meghaladó vastagságú), ámde átlátszó légkör vesz közül. A levegő törésmutatója csak a bolygó középpontjától mért távolságtól függ.

A bolygó felé közeledő űrhajóból már messziről jól látszik a bolygótest, így optikai úton meghatározzák az átmérőjét.
Leszállás után az űrhajósok meglepetten veszik tudomásul, hogy a bolygótest valódi átmérője pont a fele a korábban mértnek.
Ellopták a bolygót? Esetleg a légkör fénytörése...

Kérdés: mekkora a levegő törésmutatója a bolygó felszínén?

(Optika vizsgazh feladat, 2. fizikus BSc, 2014.12.04.
A 84 vizsgázóból 6 foglalkozott a feladattal, érkezett 0 db helyes megoldás.)

dgy

[mmormota]

Először megnézek egy egyszerűbb esetet: konstans a törésmutató, mintha egy nagy üveggömb közepe lenne a bolygó.

Legyen a bolygó sugara r, az üveggömbé R, a középpont O. Az űrhajó mondjuk nagyon nagy távolságból mér átmérőt, akkor azt lehet venni, hogy a középvonaltól 2r távolságra húzok egy párhuzamost, ez metszi az R üveggömb felszínét, legyen ez a pont A, innét érintőt húzok a bolygóhoz, ez lesz a látóvonal, az érintési pont B.

Ilyen feltételekkel a beesési szög váltószöge a beta = A_0_űrhajó szögnek, így
sin(beta) = 2r/R

Veszem az OAB derékszögű háromszöget, ennek alfa = O_A_B szöge az üvegen belüli fényút beesési merőlegessel bezárt szöge.
sin(alfa) = r/R

Ebből a törésmutató
n= sin(beta) / sin(alfa) = (2R/r) / (R/r) = 2

Vagyis üveggolyóra átmérőtől függetlenül n=2 adódik, feltéve hogy R elég nagy. Ha R nem elég nagy, akkor az érintőről a fény határszög felett éri el a felszínt és nem jut ki, vagy ha 2r-nél is kisebb akkor meg végképp nem jó, ezért nem lehet úgy látni a bolygót mint nagy üveggömbben.

Na most. Ha mindegy hogy egy elég nagy R1 és még nagyobb R2 közé üveget vagy vákuumot teszek, abból eléggé gyanús hogy valami köztes törésmutató esetén is hasonló nagyítást kapok. Ebből viszont az következik, hogy valószínűleg egy folyamatos monoton csökkenő n profil esetén is ugyanez lesz, és n=2 a kezdő felszíni törésmutató.

Később megpróbálom bizonyítani.

Valódi légkör esetén valami éktelen bonyolult a nyomás és így a törésmutató profil, szóval azt inkább nem próbálom meg kiszámolni.

[dgy]

[mmormota]

[dgy]

[mmormota]

[mmormota]

Az is igaz, hogy errefelé mutat az, hogy mindegy mekkora egy homogén gömbhéj, n=2-nél 2 a nagyítás.
Ha a felszíni réteg dominancia tényleg megáll, azzal függhet össze, hogy vagy akkorának látjuk a bolygót mint amit ez meghatároz, vagy ha olyan a függvény akkor olyan torzulás lép fel hogy a kritikus szélső fénysugarak éppen nem jutnak ki.

[dgy]

[G.Á]

A teljesség kedvéért ideírom a megmaradó mennyiség rövid levezetését.

Az optikai Lagrange-formalizmus alapja a legrövidebb optikai út elve, vagyis az az optikai pálya kitüntetett (valódi), ahol az optikai úthoz tartozó idő variációja eltűnik:


Itt ds az út mentén történő kis elmozdulás nagysága, átparaméterezhető:

A célunk ennek átírása valamelyik változóra, legyen ez most , vezessük be a jelölést.

Ekkor az analógia a mechanikával könnyen látható:



Innen megmaradó a megmaradó mennyiséget könnyű észrevenni. Most vizsgáljuk csak síkban a problémát, használjuk az változókat.

Itt a deriviálás "r"-szerint történik.

Mivel a feladat szerint gömbszimmetrikus a törésmutató, a Lagrange-függvény nem tartalmazza a szöget.
Emiatt a szögre vonatkozó Euler-lagrange egyenletéből:

Ezt kifejezve:

Ebből pedig, felhasználva hogy a dőlésszögre teljesül az , trigonometrikus átalakítások után valóban az jön ki, hogy:

[Zsolt68]

Tegyük fel, hogy ravasz módon a távolból megmérték az átmérőt a látható tartományban több hullámhosszon is.
Mekkora eltérést tapasztaltak a vörös és a kék mérések eredménye között?