Habár a topik elején szerepel az utazó ikrek sajátidejeinek kiszámolása, de ez persze a nemgyorsuló ikerpárhoz rögzített inerciarendszerben történik.
A nehézség sokak számára éppen abban rejlik hogy ugyanezt a számolást elképzelni sem tudják a gyorsuló ikerpárhoz rögzített gyorsuló vonatkoztatási rendszerben.
Egyvalami van amit mindenáron le kell szögezni: A gyorsulás abszolut abban az értelemben, hogy kimutatható.
Gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben a fénysebesség izotrópiája sem eleve adott (legalábbis ha nem lokális mérést végzünk), ebből eredően az inerciarendszerekkel való ekvivalenciába vonás általában nem elfogadható.
Ebből eredően a gyorsuló vonatkoztatási rendszerünk metrikája sem egyezhet meg a Minkowski terével.
Tekintsünk egy viszonylag egyszerű esetet, a konstans gyorsulás esetét, vagyis azt a mozgást hogy:
-Az utazó ikerpár (az inerciális ikerpárhoz képest) kezdetben pozitív "v" sebességgel indul, és konstans negatív gyorsulást szenved.
-Az utazó ikerpárnak (az inerciális ikerpár szemszögéből mért) térbeli távolsága egy adott ponton eléri a maximális távolságot.
-Az utazó iker közeledni kezd az inerciális ikerhez, és végül eléri, "-v" sebességgel.
Ebben az esetben a metrikánk az ú.n. Rindler metrika:
Egyelőre fogadjuk el indoklás nélkül, a végén nagyon röviden visszatérek rá.
Vegyük észre hogy ha a gyorsulás nulla, (a=0) illetve ha a találkozási pontokban vagyunk (x=0), visszakapjuk a Minkowski metrikát.
Tekintsük megint a fenti ábrát! A gyorsuló iker szempontjából az inerciális iker "-v" sebességgel indul, "-x" irányba indul. De, és ez nem triviális, az "a" értéke továbbra is negatív, mert a gyorsulás a gyorsuló ikret, a vonatkoztatási rendszert jellemző mennyiség.
Ezenkívül
Belátható hogy a nagyobb lesz mint . Meggyőző lehet, ha azt a pillanatot vizsgáljuk, amikor a gyorsuló ikerpár szempontjából az inerciális ikerpár sebessége nulla, ekkor .
Az egész gondolatmenet persze azon alapul hogy állandó gyorsulás esetén tényleg a Rindler-metrika használható.
Meg lehet mutatni, hogy konstans gyorsulás esetén egy olyan fénysugár, amelyik mögötted távolságról indul, soha nem fog utolérni. Ez azt jelenti hogy ebben a vonatkoztatási rendszerben lesz egy eseményhorizont, a Rindler-metrika is ezt fejezi ki.