Az erőnek az egyetlen releváns, z komponense:
itta "p(r)" az adott koordinátarendszerben a nyomás "O" pont körüli gömbszimmetriáját fejezi ki, amelyik a feladat szerint nem romlik el egy kis elmozdulástól.
Kis elmozdulás esetén viszont logikus, hogy ezt a függvényt lineáris rendig sorba lehet fejteni.
Itt a korábbiak szerint "D" a kis elmozdulása a magnak, és
A gyökös tagot sorbafejtéssel közelítjük. Megjegyzem hogy a határesetben Laurent-sorba lehet fejteni, ebben az esetben végeredményként visszakapjuk a szokásos képletet.
Számunkra azonban most a eset a fontos, ekkor Taylor-sorbafejtés után:
Az integrálást elvégezzük, és látható hogy a páros rendű tagok ki fognak esni, az integrálás után:
Kulcsfontosságú a nyomás megfelelő deriváltjának a felírása. Ezt valóban úgy kell elkezdeni, ahogyan Antares is tette.
Lévén hogy hidrosztatikai nyomásról van szó, a nyomást felírhatjuk mint egy integrált a felszíntől (h=0) adott "h" mélységig.
A g-függvényt elvileg ismerjük, hiszen a tömegközépponttól mérve továbbra is gömbszimmetrikus,
Átkoordinátázás után () kifejezhetjük a nyomás "r"-függését:
Ebből már a deriváltat könnyebb kifejezni,
Ha a mag határa mentén a köpeny(folyadék) sűrűsége , a mag átlagos sűrűsége pedig , akkor a képletből kijön, hogy az helyen
.
Ez alapján tehát a felhajtóerő z komponense
A negatív előjel ne zavarjon össze senkit, ez amiatt van, hogy a koordinátázást úgy vettük fel, hogy a koncentrikus elrendezéstől negatív irányú az elmozdítás.
Ui: Ha minden igaz, akkor a gravitáció a lineáris tagot éppen ellensúlyozza (jelölésbeli különbségekért elnézést), így a bolygómagok a kis kitérésekre vonatkozóan stabilak. Ez igen megnyugtató, bár az árapályerők és köpenyáramlások mindenképpen adnak a magnak kitérést.
Véleményem szerint igen érdekes kérdés például a mag dinamikája, --különös tekintettel a hidrodinamikai instabilitásra-- illetve ennek szeizmikai következményei.
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.09.10. 13:14
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
Ha az "R" sugarú gömb "D"-vel van eltolva, akkor a magra vonatkozó gravitációs hatása csak az "O" ponttól R+D sugarú térfogatnak van.
Szimmetriaokokból elegendő csak az erő eltolásirányú komponensét kiszámolni.
Ehhez az alábbi integrált kell kiszámolnunk:
Ebben egyedül a sugár szerinti integrálás felső határa nem-triviális, de az ábrából könnyen látható lesz a koszinusztétel révén hogy (jelöljük most a felső határt "L"-el):
amiből "L"-re másodfokú egyenletet kapunk.
A gyökös tag integrálja nulla ( )
Ezzel az integrál elvégezhető:
nagyságú, és a felhajtóerővel ellentétes irányú.
Ha nem tévedek, akkor éppen közömbösíti a hatást, ami azt jelenti, hogy mag számára a szimmetrikus elhelyezkedés általában nem stabil egyensúlyi helyzet.
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.03.12. 02:37
]]>
A felhajtóerő: , ami a Gauss-tétel miatt:
Viszont az Euler-egyenlet szerint (egyensúly esetén):
, vagyis:
, ami a kiszorított folyadék súlya.
Ez a levezetés valószínűleg ugyanazt csinálja, mint az a szöveges bizonyítás a testnek és a folyadéknak a cserélgetésével. Csak az a szépséghibája, hogy a Gauss-tételt nem vektormezőre, hanem skalárra alkalmaztam, mintegy "formálisan", kihasználva, hogy a jelenthet "div"-et és "grad"-ot is.
De ha mondjuk az 1. egyenletet megszorzom egy tetszőleges, állandó vektorral, akkor már olyan kifejezést kapok, amire biztosan igaz a Gauss-tétel:
Viszont , mert konstans. Tehát az marad, hogy:
De mivel a egy tetszőleges vektor volt, igaz kell legyen, hogy:
Gondolom, ezzel nem én találtam fel a spanyolviaszt, de mivel eddig így nem ismertem, örültem neki mint majom a farkának.
Statisztika: Elküldve Szerző: Antares — 2017.03.11. 20:04
]]>
Én úgy kezdtem el, hogy sorbafejtést helyettesítettem be az integrálásba, és utólag kerestem meg az "a" értékét.
Csak így persze gyökös kifejezést kellett integrálni , amit sorbafejtettem.
Ezzel kijött hogy a felhajtóerő ahol "D" a középponttól való kitérés, és .
Azt viszont nem vettem észre, ami a te gondolatmenetedben szereplő függvényedből jól látható fizikai jelentés, így végülis a te megoldásod jobb.
A sorbafejtésnél én még kiszámoltam magasabbrendűbb korrekciós tagokat is, de úgy látszik hogy ezeknek nem jut fizikai szerep.
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.03.11. 12:44
]]>
A gravitáció lineárisan nő a középponttól mért távolsággal:
a folyadék sűrűsége, r a bolygó középpontjától mért távolság. A konstanst elnevezem C-vel, hogy kevesebbet kelljen írni:
Így:
A nyomást egy adott r magasságban úgy kapom meg, hogy integrálom a folyadék súlyát r-től -ig, ahol -vel a bolygó sugarát jelölöm:
Most már jöhet a felhajtóerő.
Felhajtó2.jpg
Erre a gömbre keresem a felhajtóerőt. Az origó a bolygó középpontja, "d" a gömb középpontjának távolsága a bolygó középpontjától, "r" pedig a gömb felszíni pontjainak távolsága a bolygó középpontjától. Az x irányt tekintem "függőleges"-nek, errefelé van elmozdulva a gömb.
A gömb felszínét (y-z) síkokkal elmetszve felosztom kis övekre, amelyeknek az alkotója (piros). Ezek mentén a nyomás állandó. Egy ilyen öv felülete:
Az övre ható erő kiszámításához szigorúan véve körbe kéne integrálni a nyomást az x tengely körül, tehát be kéne vezetni még egy szöget, de ezt elhagyhatjuk, mert a szimmetria miatt az erők y-z irányú komponensei összesen nullát adnak, az x irányú komponens viszont állandó egy öv mentén.
Tehát a nyomásból adód erő x komponense egy teljes övre:
Beírva a nyomást:
Még azt kell megtenni, hogy az r-et ki kell fejezni -vel, hogy azonos legyen a változó. Ez a rajz alapján:
Ezt beírva az előzőbe:
A teljes felhajtóerőt úgy kapom, hogy ezt az erőt integrálom a teljes gömbfelületre, vagyis 0-tól -ig:
Kicsit átrendezve ez nagyon kellemes integrállá válik:
Innen már nagyon könnyen kijön, hogy az első integrál nulla, a második pedig pontosan 2/3. Vagyis:
Azért lett negatív, mert én a rajzon a balra mutató -et vetem pozitívnak, tehát nálam ez a pozitív irány. A negatív eredmény azt jelenti, hogy a felhajtóerő valójában nem balra mutat, hanem jobbra, ami nem meglepő
Szóval az eredményben szépen megjelenik a gömb térfogata, a sűrűséggel együtt pedig a gömbből kiszorított folyadék tömege (). Vagyis:
A Cd viszont nem más, mint a gravitációs térerősség értéke a középponttól d távolságban, hiszen a g-t úgy írtuk fel, hogy . Tehát a középponttól d távolságban lévő gömbre ható felhajtóerő:
És ez pontos eredmény annyiban, hogy a számoláskor nem kellett semmit elhanyagolni.
Na ezzel megvan a felhajtóerő. De hogy ez hasonlítson az Archimédesz törvényére, ahhoz még ki kéne számolni a test helyébe rakott folyadékgömb tényleges súlyát is. A kapott eredmény ránézésre olyan, mintha a felhajtóerő pontosan ez a súly lenne, de ez még nem következik semmiből, egyelőre nem tudhatjuk, hogy inhomogén térben egy ilyen folyadékgömb súlyát tényleg úgy kell-e számolni, hogy az egész tömegét berakjuk a gömb középpontjába. Vagyis van egy hasonló tétel két gömb között ható gravitációs erőre, de nem tudom, hogy az érvényes-e akkor is, ha az egyik gömb benne van a másikban. Szóval a biztonság kedvéért most ki kéne integrálni a gömbre ható gravitációs erőt is. Az viszont bonyolultabb lenne, mert ott már biztos, hogy két változó kell. Ha például a fenti rajzhoz hasonlóan a gömböt felvágom függőleges síkokkal korongokra, akkor is az egyes korongokon belül a tér nem egyforma, még ezeket a korongokat is fel kéne osztani körgyűrűkre.
Viszont amiatt, amit korábban már írtam az Archimédesz törvényének általános levezetéséről, biztos, hogy ez az erő egyben a folyadék súlya is, úgyhogy ez a második, nehezebb integrálás megspórolható.
Szóval a mondókát igazából nem kell módosítani, a felhajtóerő most is a kiszorított folyadék súlyával egyezik meg. Amit a számítás a dologhoz hozzátett, az tulajdonképpen az, hogy hogyan lehet kiszámítani ennek a kiszorított folyadéknak a súlyát gömb esetében. Úgy, mintha a teljes vízmennyiség a gömb középpontjában lenne. Ezt az információt lehet esetleg hozzátenni a mondókához:
Minden vízbe mártott test
a súlyából annyit veszt,
amennyi az általa
kiszorított víz súlya.
Súlyon pedig azt értjük,
amit gömbnél úgy mérünk,
hogy a gömbnek tömegét
középpontjába tesszük
Kisangyalom!
(Elnézést kérek
)Statisztika: Elküldve Szerző: Antares — 2017.03.11. 02:05
]]>
Ettől függetlenül a feladat elsősorban az, hogy számoljuk ki a felhajtóerő konkrét alakját.
A mellékkérdéseket pedig átfogalmazom úgy hogy: milyen határesetben kaphatjuk vissza az esetet.
Illetve írjunk versikét a felhajtóerő nagyságára úgy, hogy abban kifejezésre jusson a kis kitérésekhez tartozó felhajtóerő explicit alakja.
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.03.10. 21:19
]]>
Akkor maradok az első válaszom mellett, vagyis hogy Archimédesz törvénye nem változik: A gömbre ható felhajtóerő megegyezik a gömb súlyával*. Az indoklás az Archimédesz-törvény levezetése:
Cseréljük ki a gömböt ugyanarra a folyadékra, ami körülveszi. Ez a folyadékdarab egyensúlyban lesz, és két erő hat rá: a saját súlya és a körülvevő folyadék nyomásából fakadó felhajtóerő. Mivel a folyadék egyensúlyban van, ennek a két erőnek meg kell egyeznie.
Most cseréljük vissza a folyadékot az eredeti gömbre. Ettől a környező folyadék nyomásviszonyai nem változnak meg, így az általa kifejtett felhajtóerő sem változik. Arról viszont az előbb láttuk be, hogy megegyezik a testet helyettesítő folyadék súlyával.
Mivel ebben a levezetésben nem volt sehol kihasználva a gravitáció homogenitása, igaz kell legyen bármilyen inhomogén gravitációban is.
A levezetéshez persze feltételezni kell, hogy a test és az azt helyettesítő folyadék ugyanolyan módon reagál a nyomásra, azaz ugyanúgy nyomódik össze (vagy teljesen összenyomhatatlan), ellenkező esetben a két térfogat határoló felülete nem lenne azonos, és a felhajtóerő is változna.
*Szerk: Nyilván nem a gömb súlyával, hanem a gömb által kiszorított folyadék súlyával
Statisztika: Elküldve Szerző: Antares — 2017.03.10. 17:38
]]>
Itt a nyomáseloszlás gömbszimmetrikus, az origója az "O" pont. A homogén gömb alakú test középpontja viszont ettől kicsit el van tolva, "C"-vel jelöltük.
Az eltolás kicsinységének az a szerepe hogy a nyomás, --amely csak "r"-nek a függvénye-- elfogadhatóan sorbafejthető legyen első rendig.
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.03.10. 00:39
]]>
]]>