Induljunk ki az ellipszisnek a korábban már szereplő geometriai tulajdonságából.
Ez alapján a szög azonos az "LT" szakasz és a "v" vektor bezárt szögével.
Ez azt is jelenti hogy (felhasználva a szinusztételt) :
.
Ebből már ki tudjuk fejezni a vizszintessel bezárt szöget, mert .
Emiatt a megoldás egyszerűen kifejezhető:
Egy határeset könnyen levezethető, ha ugyanis , akkor
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.03.04. 21:37
]]>
Először felvetődik a kérdés, hogy a másik fókuszpont (F), hol is helyezkedhet el. Korábban szimmetriaokokból a szögfelezőn volt, de ez most nem áll fenn.
Tudjuk hogy:
Ebből:
ami egy hiperbolának a definíciója. Ezen kell úgy elhelyezni az F fókuszt, hogy "a" minimális legyen.
"a" minimalizálása LF + TF távolság-összegek minimalizálását is jelenti. Ezt akkor kapjuk meg, ha ezek az LT szakaszra esnek.
Fejezzük ki ezt a minimális "a"-t:
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.02.05. 12:58
]]>
]]>
A sebesség nagyságára:
A vizszintes komponense nyilván
A legfontosabb, hogy ki tudjuk fejezni "a"-t a szöggel, amihez a háromszögekre vonatkozó szinusztétellel egyszerűsítések után a: egyenletet kapjuk.
Behelyettesítések után négyzetreemelünk, trigonometriailag egyszerűsítünk, gyököt vonunk, és valóban kijön hogy (a normált esetre)
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.01.23. 13:15
]]>
dgy
Statisztika: Elküldve Szerző: dgy — 2017.01.23. 09:15
]]>
]]>
]]>
]]>
]]>
Tudjuk, hogy az ellipszis bármely pontjába a fókuszokból húzott szakaszok összege egyenlő a nagytengely kétszeresével. Ez könnyen le is vezethető, ha a P pontnak mondjuk a perigeumot választjuk.
11.jpg
Vagyis: PF1+PF2=2a
Tehát a nagytengely minimalizálása tulajdonképpen egyenértékű azzal, hogy a PF1+PF2 hosszúságot kell minimalizálni. Mivel adott becsapódási szélességi kör (azaz adott ) esetén PF1 adott, nem változtatható, ezért csak PF2-t változtathatjuk a minimum keresésekor. A PF2 szakasz nyilván akkor lesz minimális, ha merőleges a nagytengelyre:
12.jpg
A kilövési szög az ellipszis érintője és a kör érintője által bezárt szög. Ezt jelölje a zöld .
13.jpg
Innen már csak a szögek közti összefüggést kell levezetni:
- A két zöld színű egyenlő, mert csúcsszögek
- A narancssárga szög , mert a zöld és a narancs összesen 90 fok (a kör érintőjének és sugarának szöge)
- A lila szög , mivel az F1F2P háromszög derékszögű (a korábban levezetett eredmény alapján, ez biztosítja, hogy a nagytengely minimális legyen)
- A narancssárga szög megegyezik a piros és a zöld szög összegével (). Ez az egyenlőség az ellipszis azon tulajdonságából következik, hogy az egyik fókuszból kiinduló fénysugarat a másik fókuszba veri vissza. Ez az állítás tehát azt fogalmazza meg, hogy a P pontnál keletkező beesési és visszaverődési szögek egyenlőek. Tehát , amiből:
Most már csak fel kell írni valamelyik egyenesszöget ezekkel a betűkkel, mondjuk a kör érintőjén látható egyenesszöget (zöld+narancs+lila+piros). Tehát:
A két határset:
Ha a -vel nullához tartunk, azaz ha a becsapódási hely nagyon közel van a kilövéshez, akkor visszakapjuk a 45 fokot, ami a homogén erőtérben végzett ferde hajítás eredménye.
Ha a fok, azaz a kilövési és becsapódási hely a Föld két átellenes pontján van, akkor -ra 0 fokot kapunk, azaz a lövedéket vízszintesen kell kilőni, és az körpályán éri el a másik pontot (ahol ezért be sem csapódik, hanem tovább repül.)
Sokat segített GA tippje a nagytengelyről. Előtte megpróbáltam megoldani a feladatot analitikusan. Megpróbáltam felhasználni az ellipszis paraméterei (a, epszilon, p) és a dinamikai jellemzők (E, J) közti összefüggéseket, és kaptam is egy egyenletet, amelyben a v kezdősebesség csak -val és -vel volt kifejezve. Ennek kellett volna a szélsőértékét keresni -ra nézve, adott -nél. Még ezt az egyenletet is sikerült felírnom, de ez egy nyolcadfokú trigonometrikus egyenlet lett, aminél feltettem a kezem
Ezzel a geometriai módszerrel sokkal könnyebb volt.
A kérdés második része (hogy mi a helyzet, ha a kilövési pont h magasságban van) még nyitott.
Statisztika: Elküldve Szerző: Antares — 2017.01.22. 21:10
]]>
Nem akartam közbeszólni, mert nekünk ez annak idején zh-feladat volt első évfolyamban mechanikából.
Sajnálom, hogy senki sem foglalkozott vele. De még nem késő bekapcsolódni!
dgy
Statisztika: Elküldve Szerző: dgy — 2017.01.08. 19:24
]]>
A trajektória természetesen ellipszis lesz a megadott feltételek mellett, amelyről annyit tudunk, hogy az egyik fókuszpontja a Föld tömegközéppontja (igen jó közelítéssel a geometriai közepe), és átmegy az északi-sarkon (P), illetve a célponton (Q).
Ez a két feltétel nem teszi egyértelművé az ellipszis paramétereit. Azt ugyan láthatjuk, hogy a másik fókuszpontnak az ellipszis szimmetriatengelyén kell lennie (amely az OPQ háromszög megfelelő szögfelezője), de kérdés, hogy ezen hol helyezkedik el a másik fókuszpont.
A kérdés természetesen éppen az, hogy a minimális energiájú ellipszispályát válasszuk ki, így értelemszerűen ki kell fejeznünk az energiát az ellipszis paramétereivel.
Jelöljük a továbbiakban a közel-és távolpont sugarát és sebességeit d,d',v,v' -vel.
Az imp.mom. megmaradás miatt:
Az átalakítás következő lépéséhez tekintsük az energiák különbségét:
Ebből eredően:
Emiatt nyilván:
Visszahelyettesítve az ellipszispályához tartozó teljes energia kifejezésébe:
ahol "a" az ellipszis nagytengelye. A tömegek rögzítettek, így az energia minimalizálása a nagytengely minimalizálásával ekvivalens.
Az ábráról viszonylag könnyen kitalálható, hogy mikor teljesül ez.
(A teljes energia szokásosabb levezetése megtalálható pl: http://galileo.phys.virginia.edu/classe ... Orbits.htm .
Eredetileg arra gondoltam hogy a fenti módszer rövidebb, de lehet hogy tévedtem. )
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2017.01.07. 14:56
]]>
Mekkora legyen a hajításnak a vízszintessel bezárt szöge?
Hogyan változik az eredmény ha a célpont a földfelszínhez képest "h" magasságban van?
Statisztika: Elküldve Szerző: G.Á — 2016.12.25. 16:02
]]>